专题06 全等三角形中的截长补短模型(解析版)

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专题 06 全等三角形中的截长补短模型

【模型展示】

特点

如图，在△ABC 中，若 AB=12，AC=8，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围。

解决此问题可以用如下方法：

延长 AD 到点 E使DE=AD，再连接 BE，把 AB、AC、2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三

边的关系即可判断中线 AD 的取值

【证明】

延长 AD 至E，使 DE=AD，连接 BE,如图所示，

∵AD 是BC 边上的中线，

∴BD=CD

在△BDE 和△CDA 中，

BD=CD

∠BDE=∠ADC

DE=AE

∴△BDE≌△CDA(SAS)

∴BE=AC=8

在△ABE 中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE

∴12-8＜AE＜12+8

∴2＜AD＜10

结论

截长法和补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用.具体的做法是在

某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利

用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.

【模型证明】

解决方案

如图，在△ABC 中，D是BC 边上的中点，DE⊥DF 于点 D，DE 交AB 于点 E,DF 交AC 于点

F,连接 EF，求证：BE+CF＞EF.

【证明】

延长 FD 至点 M,使DM=DF,连接 BM,EM,如图所示，

同上例得△BMD≌△CFD(SAS)

∴BM=CF

∵DE⊥DF,DM=DF

∴EM=EF

在△BME 中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM

如图，在四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°，以 C为顶点作一个 70°

角，角的两边分别交 AB,AD 于E,F两点连接 EF,探索线段 BE,DF,EF 之间的数量关系，并加以

证明.

【证明】

延长 AB 至点 N,使BN=DF,连接 CN,如图所示

∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°

∴∠NBC=∠D

在△NBC 和△FDC 中

BN=DF

∠NBC=∠D

BC=DC

∴△NBC≌△FDC（SAS）

∴CN=CF,∠NCB=∠FCD

∵∠BCD=140°，∠ECF=70°

∴∠BCE+∠FCD=70°

∴∠ECN=70°=∠ECF

在△NCE 和△FCE 中

CN=CF

∠ECN=∠ECF

CE=CE

∴△NCE≌△FCE(SAS)

∴EN=EF

∴BE+DF=EF.

【题型演练】

一、解答题

1．阅读下面文字并填空：

数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图 1，在中，AD 平分，．求证：

．

李老师给出了如下简要分析：“要证就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：

‘截长法’如图 2，在 AC 上截取，连接 DE，只要证 __________即可，这就将证明线段和差

问题__________为证明线段相等问题，只要证出 __________ __________，得出及

_________，再证出 __________ ___________，进而得出，则结论成立．此种证法的基础是

‘已知 AD 平分，将沿直线 AD 对折，使点 B落在 AC 边上的点 E处’成为可能．

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