专题02 全等三角形中的半角模型(原卷版)

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专题 02 全等三角形中的半角模型

【模型展示】

特点



45.00

过正方形 ABCD 顶角顶点（设顶角为 A），引两条射线且它们的夹角为

∠A

；这两条射

线与过底角顶点的相关直线交于两点 E、F，则 BE,EF,FC 之间必存在固定关系。这种关系仅

与两条相关直线及顶角 A相关.

【模型证明】

解决方法

以点 A为中心，把△ADF（顺时针或逆时针）旋转角 A度，至△ABF'；



45.00

结论 1、△AMN 全等于△AMN'，MN=MN';

2、△AEF 全等于△AEF'，EF=EF'→BE+EF=EF;

3、；

4、△CEF 的周长等于正方形 ABCD 的一半；

5、点 A到EF 的距离等于正方形的边长（AB）。

应用环境

1：顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为 30°、45°、60°、75°或它们的补角、90°；

2：正方形、菱形等也能产生等腰三角形；

3：过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条

角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；

4：此等腰三角形的相关弦.

【模型拓展】

证明 90°中夹 45°(正方形中的半角模型)

条件：在正方形 ABCD 中，E、F分别是 BC、CD 边上的点，∠EAF=45°，BD 为对角线，交

AE 于M点，交 AF 于N点。

结论①：图 1、2中，EF=BE+FD

证明：如图 3中，将 AF 绕点 A顺时针旋转 90°，F点落在 F’处，连接 BF’，

∴∠EAF’=90°- EAF=90°-45°=45°= EAF∠ ∠ ，

且AE=AE，AF=AF’，

∴△FAE F’AE(SAS)≌△ ，

∴EF=EF’，

又∠D= ABF’=90°∠，∠ABE=90°，∴∠ABE+ ABF’=90°+90°=180°∠，

∴F’、B、E三点共线，

∴EF’=BE+BF’=BE+DF。

结论②：图 2中MN²=BM²+DN²；

证明：如图 4中，将 AN 绕点 A顺时针旋转 90°，N点落在 N’处，连接 AN’、BN’、MN’，

∴∠N’AM=90°- EAF=90°-45°=45°= MAN∠ ∠ ，

且AM=AM，AN=AN’，

∴△MAN’ MAN(SAS)≌△ ，

∴MN=MN’，

又∠ADN=45°= ABN’∠，∠ABD=45°，

∴∠MBN’= ABD+ ABN’=45°+45°=90°∠ ∠ ，

∴在 Rt MBN’△中，MN’²=BM²+BN’²，

即MN²=BM²+BN’²。

结论③：图 1、2中EA 平分∠BEF，FA 平分∠DFE。

证明过程见证明①中时△FAE F’AE≌△ 即可。

结论④：图 1、2中

SΔ AEF =SΔ ABE +SΔ ADF

。

证明：如图 5中，过 A点作 AH EF⊥于H点，由结论③可知：∠AEH= AEB∠，

且∠AHE= ABE=90°∠，AE=AE，∴△AEB AEH(AAS)≌△ ，

∴AH=AB=AD，进而可以证明△AHF ADF(AAS)≌△ ，

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