专题01 全等三角形中的手拉手旋转模型(解析版)

3.0 cande 2025-05-12 25 4 1.89MB 55 页 3知币
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专题 01 全等三角形中的手拉手旋转模型
【模型展示】
特点
N
M
F
E
C
A
B
D
在线段 BCD 同侧作两个等边三角形△ABC 和△CDE，连接 AD 与BE。
结论
（1）△BCE ACD≌△ ，△BCM ACN≌△ ，△MCE NCD≌△
（2）AD=BE, AFB=60°∠
（3）△MCN 为等边三角形
（4）MN BD∥
（5）CF 为∠BFD 的角平分线
（6）FC+FE=FD
【模型证明】
解决方案
∵Δ ABC Δ与ECD 为等边三角形
∴BC=AC , CE=CD , ∠ACB =∠ECD=60∘
∵∠ ACB =∠ECD
∴∠ ACB +∠ACE =∠ECD +∠ACE
∴∠BCE =∠ACD
Δ在ABC Δ与ECD 中
{
BC=AC ¿
{
∠BCE =∠ACD ¿ ¿¿
¿
¿
N
F
E
C
A
B
D
∵Δ BCE≃Δ ACD
∴∠CBE =∠CAD
∵∠ ACB =∠ECD=60∘
∴∠ ACN =60∘
Δ在BCM Δ与ACN 中
{
∠ACB =∠ECD=60∘¿
{
BC=AC ¿¿¿
¿
¿
N
M
F
E
C
A
B
D
∵ΔBCE≃Δ ACD
∴∠BEC =∠ADC
Δ在MCE Δ与NCD 中
{
∠MCE =∠NCD=60∘¿
{
EC=DC ¿ ¿¿¿
¿
¿
∵ΔBCE≃Δ ACD
∴BE=AD
∵ΔBCE≃Δ ACD
∴∠CBE =∠CAD
∵∠CBM +∠BMC +∠BCM =180∘
∠MAF +∠AMF +∠AFM =180∘
∴∠BCM=180∘−(∠CBM +∠BMC )
∠AFM =180∘−(∠MAF +∠AMF )
∵∠BMC =∠AFM
∴∠BCM =∠AFM =60∘,即∠AFB=60∘
∵ΔBCM ≃Δ ACN
∴CM =CN
∵∠ MCN=60∘
∴Δ MCN 为等边三角形
∵Δ MCN 为等边三角形
∴∠MNC=60∘
∵∠ NCD=60∘
∴∠MNC =∠NCD
∴MN // BD
P
Q
N
M
F
E
C
A
B
D
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