重难点05两种数学思想方法 -【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（解析版）

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重难点 05 两种数学思想方法

考点一：分类讨论思想

考点二：数形结合思想

【考点剖析】

考点一：分类讨论思想

一．填空题（共 4小题）

1．（2022•奉贤区二模）如图，在等边△ABC 中，AB＝2，如果以 BC 为直径的⊙D和以 A为圆心的

⊙A相切，那么⊙A的半径 r的值是　 3﹣ 或

3+ 　．

【分析】分两圆外切和两圆内切两种情形讨论解答：利用相切时圆心距与利用半径的关系列出方程即可求

解．

【解答】解：连接 AD，如图，

∵△ABC 是等边三角形，

∴BC＝AB＝AC＝2，∠B＝60°．

∵D为BC 的中点，

∴BD＝CD＝，AD⊥BC，

∴⊙D的半径为，

AD＝AB•sin60°＝3．

①以BC 为直径的⊙D和以 A为圆心的⊙A相外切时，

∴r+＝AD＝3，

∴r＝3﹣．

②以BC 为直径的⊙D和以 A为圆心的⊙A相内切时，

∴r﹣＝AD＝3，

∴r＝3+ ．

综上，如果以 BC 为直径的⊙D和以 A为圆心的⊙A相切，那么⊙A的半径 r的值是 3﹣或3+ ．

故答案为：3﹣或3+ ．

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，两圆相切的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关

键．

2．（2022 春•徐汇区期末）定义：如果一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么称

这个凸四边形为“等腰四边形”，把这条对角线称为“界线”，已知在“等腰四边形”ABCD 中，AB＝BC

＝AD，∠BAD＝90°，且 AC 为界线，则∠BCD 的度数为　 135° 或

90° 或

45° 　．

【分析】由AC 是四边形 ABCD 的等腰线，可以得出△ACD 是等腰三角形，从图 1，图 2，图 3三种情况运

用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和 30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD 的度数．

【解答】解：∵AC 是四边形 ABCD 的界线，

∴△ACD 是等腰三角形．

∵AB＝AD＝BC，

如图 1，当 AD＝AC 时，

∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC

∴△ABC 是正三角形，

∴∠BAC＝∠BCA＝60°．

∵∠BAD＝90°，

∴∠CAD＝30°，

∴∠ACD＝∠ADC＝75°

∴∠BCD＝60°+75°＝135°．

如图 2，当 AD＝CD 时，

∴AB＝AD＝BC＝CD．

∵∠BAD＝90°，

∴四边形 ABCD 是正方形，

∴∠BCD＝90°

如图 3，当 AC＝CD 时，过点 C作CE⊥AD 于E，过点 B作BF⊥CE 于F，

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