重难点03 二次函数综合题（22年上海二模24题）-【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（解析版）

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重难点 03 二次函数综合题（22 年上海二模 24 题）

（1）压轴题中的代数计算题，主要是以二次函数为背景的代几综合题；

（2）常用的方法是通过待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，

解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标；

（3）这类题目中，代数计算的运用主要是利用图形之间（主要是线段之间）的数量关系建立方程，然

后求解．

【满分技巧】

解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面

审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的

设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分

类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的

关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽

的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

【限时检测】

一．解答题（共 16 小题）

1．（2022•金山区二模）已知：在直角坐标系中直线 y＝﹣x+4 与x轴、y轴相交于点 A、B，抛物线 y＝﹣

+bx+c经过点 A和点 B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如果直线 AB 与抛物线的对称轴相交于点 C，求 OC 的长；

（3）P是线段 OA 上一点，过点 P作直线 AB 的平行线，与 y轴相交于点 Q，把△OPQ 沿直线 PQ 翻折，点

O的对应点是点 D，如果点 D在抛物线上，求点 P的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）先求出抛物线的对称轴为直线 x＝1，再求出点 C的坐标，即可得出结论；

（3）设点 P的坐标为（t，0），先得出四边形 DPOQ 为矩形，再得出四边形 DPOQ 为正方形，最后得出

点D的坐标，列出方程求解即可．

【解答】解：（1）直线 y＝﹣x+4 与x轴、y轴相交于点 A、B，

∴A（4，0）、B（0，4），

代入抛物线得：，

∴b＝1，c＝4，

∴抛物线的解析式为：．

（2）由＝，

可得抛物线的对称轴为直线 x＝1，

当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，

∴C（1，3），

∴ ．

（3）如图，设点 P的坐标为（t，0），

∵AO＝BO＝4，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

∵PQ∥AB，

∴∠OPQ＝∠OQP＝45°，

∴∠DPO＝∠DQO＝90°，又∠POQ＝90°，

∴四边形 DPOQ 为矩形，

∵OP＝OQ，

∴四边形 DPOQ 为正方形，

∴DP＝DQ＝OP＝t，

∴四边形 DPOQ 为正方形，

∴D（t，t），

∴ ，

解得：，（不合题意，舍去），

∴点 P是坐标为：（，0）．

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确画出图象是解题的关

键．

2．（2022•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax2+bx+4 与x轴相交于点 A（﹣

1，0），B（3，0），与 y轴交于点 C．将抛物线的对称轴沿 x轴的正方向平移，平移后交 x轴于点 D，交

线段 BC 于点 E，交抛物线于点 F，过点 F作直线 BC 的垂线，垂足为点 G．

（1）求抛物线的表达式；

（2）以点 G为圆心，BG 为半径画⊙G；以点 E为圆心，EF 为半径画⊙E．

当⊙G与⊙E内切时．

①试证明 EF 与EB 的数量关系；

②求点 F的坐标．

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