重难点02 几何证明（22年上海二模23题）-【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（解析版）

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重难点 02 几何证明（22 年上海二模 23 题）

较之代数计算类题型，几何证明类题型偏重于利用所学的几何知识进行相关证明和说理，解题中一般

是先根据图形间的几何关系，利用全等、相似等性质进行相关的说理和计算．

【满分技巧】

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

SSS 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。

SSSSS平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。

SSSSS斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。

SSSSS弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

SSSSS弦切角边切线弦，同弧对角等找完。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

SSSSS内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。

SSSSS圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。

SSSSS要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。

SSSSS图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。

SSSSS角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。

SSSSS等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。

【限时检测】

一．解答题（共 13 小题）

1．（2022•浦东新区二模）如图，已知正方形 ABCD，以 AB 为边在正方形外作等边△ABE，过点 E作

EF⊥AB 与边 AB、CD 分别交于点 F、点 G，点 O在线段 EG 上，且 DO＝CD．

（1）求证：AE∥DO；

（2）联结 AO、DE，DE 分别交 AO、AB 于点 M、Q，求证：．

【分析】（1）由等边三角形的性质及正方形的性质证出 OD＝AE，证明 Rt△AFE Rt≌ △DGO（HL），由

全等三角形的性质得出 EF＝OG，由平行四边形的判定可证出四边形 ADOE 为平行四边形，由平行四边形

的性质可得出结论；

（2）证明四边形 ADOE 为菱形，由菱形的性质得出 AO⊥ED，证明△QEF∽△ADM，由相似三角形的性质

可得出结论．

【解答】（1）证明：∵△ABE 是等边三角形，

∴AE＝AB，

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴AB＝BE＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，

∵OD＝CD，

∴OD＝AE，

∵EF⊥AB，AB∥CD，

∴EF⊥CD，

∴四边形 ADGF 为矩形，

∴AF＝DG，AD＝FG，

在Rt△AFE 和Rt△DGO 中，

，

∴Rt△AFE Rt≌ △DGO（HL），

∴EF＝OG，

∴OE＝FG，

∴AD＝OE，

又∵AD∥OE，

∴四边形 ADOE 为平行四边形，

∴AE∥DO；

（2）证明：∵四边形 ADOE 为平行四边形，AD＝OD＝CD，

∴四边形 ADOE 为菱形，

∴AO⊥ED，

∴∠AMD＝90°，

又∵∠EFQ＝90°，

∴∠AMD＝∠EFQ，

又∵AD∥EF，

∴∠ADM＝∠QEF，

∴△QEF∽△ADM，

∴ ．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的判定与性质，

全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

2．（2022•奉贤区二模）已知：如图，在矩形 ABCD 中，点 E在边 AD 的延长线上，DE＝DC，联结 BE，

分别交边 DC、对角线 AC 于点 F、G，AD＝FD．

（1）求证：AC⊥BE；

（2）求证：＝．

【分析】（1）先证明△CDA≌△EDF，可得∠AEG＝∠ACD，从而证得 AC⊥BE；

（2）先证明△BCF∽△EDF，可得，再由△CDA∽△EAB，可得，从而得证．

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