第05讲 正多边形与圆-【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（原卷版）

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第 05 讲 正多边形与圆
目录
考点一：正多边形的中心角
考点二：正多边形和圆
考点三：弧长与扇形面积
【基础知识】
一、正多边形的相关概念
1.正多边形
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
有
n
条边的正多边形（
n
是正整数，且 ）就称作正
n
边形
2.正
n
边形的对称性
正
n
边形是轴对称图形，对称轴的条数 =
n
．
当
n
为偶数时，正
n
边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点．
3.正多边形的外接圆和内切圆
任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对
称轴的交点．正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心．
正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距．
正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．
每一个中心角=
3600
n
=它的每一个外角
4.正多边形的性质
　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成 2 ｎ个全等的直角三角形.
　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正 n 边形的中心；当
边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.　
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相
似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边是
圆的外切正多边形.
5.正多边形的画法
（1）用量角器等分圆
　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等
分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正 n 边形.
（2）用尺规等分圆
　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
　　　①正四、八边形。
　　
　　在⊙O 中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成 4 等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边
所对的弧(即作∠AOB 的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形 。
　
②正六、三、十二边形的作法。
　　
　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O 中，任画一条直径 AB，分别以 A、B
为圆心，以⊙O 的半径为半径画弧与⊙O 相交于 C、D 和 E、F，则 A、C、E、B、F、D 是⊙O 的 6 等分点。
　　显然，A、E、F(或 C、B、D)是⊙O 的 3 等分点。
　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12 等分……。
要点诠释：画正 n 边形的方法：（1）将一个圆 n 等份，（2）顺次连结各等分点.
二、正多边形的相关计算
设正 n 边形的半径长为 Rn、中心角为 αn、边长为
a
n、边心距为 rn，则利用等腰三角形 OAB，通过解
直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n 边形的周长及面积.
【考点剖析】
考点一：正多边形的中心角
一、单选题
1．（2022·上海·校联考模拟预测）如果一个正多边形的中心角等于 ，那么这个多边形的内角和为
（）
A．B．C．D．
二、填空题
2．（2022 秋·上海·九年级上海市西南模范中学校考阶段练习）正十边形的中心角等于______度．
3．（2022 秋·上海金山·九年级校考阶段练习）正五边形的中心角的度数是_____．
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