第04讲 圆与圆的位置关系-【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（解析版）

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第 04 讲 圆与圆的位置关系
目录
考点一：圆与圆的位置关系
考点二：相切两圆的性质
考点三：相交两圆的性质
【基础知识】
一．圆与圆的位置关系
（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．
如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上
的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两
个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．
（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：
①两圆外离⇔d＞R+r；
②两圆外切⇔d＝R+r；
③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；
④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；
⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．
二．相切两圆的性质
相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．
这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．
三．相交两圆的性质
（1）相交两圆的性质：
相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．
注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．
（2）两圆的公切线性质：
两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．
两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．
【考点剖析】
一．圆与圆的位置关系（共 26 小题）
1．（2022 春•长宁区校级月考）已知圆 A的半径长为 4，圆 B的半径长为 7，它们的圆心距为 d，要使这两
圆没有公共点，那么 d的值可以取（　　）
A．11 B．6 C．3 D．2
【分析】若两圆没有公共点，则可能外离或内含，据此考虑圆心距的取值范围．
【解答】解：若两圆没有公共点，则可能外离或内含，
外离时的数量关系应满足 d＞11；
内含时的数量关系应满足 0≤d＜3．
观察选项，只有 D符合题意．
故选：D．
【点评】考查了圆与圆的位置关系，关键是根据两圆的位置关系和数量关系之间的等价关系解答．
2．（2022 春•青浦区校级期中）如果两圆的半径长分别为 6与2，圆心距为 4，那么这两个圆的位置关系
是（　　）
A．内含 B．内切 C．外切 D．相交
【分析】根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为 R和r，且 R≥r，圆心距为 d：外离，
则d＞R+r；外切，则 d＝R+r；相交，则 R﹣r＜d＜R+r；内切，则 d＝R﹣r；内含，则 d＜R﹣r．
【解答】解：∵两圆半径之差＝6 2﹣＝4＝圆心距，
∴两个圆的位置关系是内切．
故选：B．
【点评】本题考查了由两圆位置关系的知识点，利用了两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差求解．
3．（2022 春•松江区校级期中）⊙A半径为 3，⊙B半径为 5，若两圆相交，那么 AB 长度范围为（　　）
A．3＜AB＜5 B．2＜AB＜8 C．3＜AB＜8 D．2＜AB＜5
【分析】根据圆心距和两圆半径的关系可得．
【解答】解：根据两圆相交，则圆心距小于两圆半径之和，而大于两圆半径之差，则 2＜AB＜8．故选 B．
【点评】考查了两圆的位置关系与数量之间的等价关系：两圆相交，则圆心距小于两圆半径之和，而大于
两圆半径之差．
4．（2022•松江区校级模拟）已知△ABC，AB＝10cm，BC＝6cm，以点 B为圆心，以 BC 为半径画圆⊙B，
以点 A为圆心，半径为 r，画圆⊙A．已知⊙A与⊙B外离，则 r的取值范围为（　　）
A．.0＜r≤4 B．.0≤r≤4 C．.0＜r＜4 D．.0≤r＜4
【分析】设⊙B半径为 Rcm，则 R＝6cm，根据两圆外离的条件得到 AB＞r+R，从而得到 r的范围．
【解答】解：设⊙B半径为 Rcm，则 R＝BC＝6cm，
∵⊙A与⊙B外离，
∴AB＞r+R，
∴r＜AB﹣R，
即r＜4，
∵r＞0，
∴0＜r＜4．
故选：C．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为 d、两圆的半径分别为 R，r，两圆外离⇔d＞R+r；
两圆外切⇔d＝R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R
﹣r（R＞r）．
5．（2022•杨浦区三模）如图，已知∠POQ＝30°，点 A、B在射线 OQ 上（点 A在点 O、B之间），半径
长为 2的⊙A与直线 OP 相切，半径长为 3的⊙B与⊙A相交，那么 OB 的取值范围是（　　）
A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
【分析】作半径 AD，根据直角三角形 30 度角的性质得：OA＝4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB 的长，可
得结论．
【解答】解：设⊙A与直线 OP 相切时切点为 D，连接 AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O＝30°，AD＝2，
∴OA＝4，
当⊙B与⊙A相内切时，设切点为 C，如图 1，
∵BC＝3，
∴OB＝OA+AB＝4+3 2﹣＝5；
当⊙A与⊙B相外切时，设切点为 E，如图 2，
∴OB＝OA+AB＝4+2+3＝9，
∴半径长为 3的⊙B与⊙A相交，那么 OB 的取值范围是：5＜OB＜9，
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