第03讲 直线与圆的位置关系-【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（解析版）

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第 03 讲 直线与圆的位置关系
目录
考点一：直线与圆的位置关系
考点二：切线的性质
考点三：切线的判定
考点四：切线的判定与性质
【基础知识】
一．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫
切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为 r，圆心 O到直线 l的距离为 d．
①直线 l和⊙O相交⇔d＜r
②直线 l和⊙O相切⇔d＝r
③直线 l和⊙O相离⇔d＞r．
二．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆
心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角
形解决问题．
三．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线
的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确
指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交
点，作半径，证垂直”．
四．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
【考点剖析】
一．直线与圆的位置关系（共 14 小题）
1．（2022•虹口区二模）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，点 E是BC 的中点，联结 AE，点 O是
线段 AE
上一点，⊙O的半径为 1，如果⊙O与矩形 ABCD 的各边都没有公共点，那么线段 AO 长的取值范围是 　
＜ AO ＜ 　．
【分析】根据题意，需要分⊙O分别与边 AB、BE 相切两种情况下，计算出 AO 长度即可解答．
【解答】解：设⊙O与AB 相切于点 F，连接 OF，OF＝1，
∵BE＝BC＝6＝3，∠B＝90°，
∴AE＝ ＝ ＝5，
△ABE 中，∵AB＞BE，
∴∠BAE＜∠BEÁ
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＜∠DAE，
∵∠AFO＝∠ABE＝90°，∠FAO＝∠BAE，
∴△AFO∽△ABE，
∴ ＝ ，即 AO＝ ＝ ＝ ，
∵∠DAE＞∠BAE，
∴若⊙O与AD 相切时，和 AB 一定相交；
若⊙O与AB 相切时，和 AD 一定相离．
同理当⊙O与BC 相切于点 M时，连接 OM，OM＝1，计算得 EO＝ ，
∴此时 AO＝5﹣EO＝5﹣＝ ，
∴当 ＜AO＜ 时，⊙O与矩形 ABCD 的各边都没有公共点，
故答案为： ＜AO＜ ．
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