第02讲 垂径定理-【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（原卷版）

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第 02 讲 垂径定理
目录
考点一：垂径定理
考点二：垂径定理的应用
【基础知识】
一．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论 3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
二．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
【考点剖析】
一．垂径定理（共 16 小题）
1．（2021 春•徐汇区月考）过⊙O内一点 M的最长的弦长为 6cm，最短的弦长为 4cm，则 OM 的长为
cm．
2．（2022•浦东新区校级模拟）在半径为 13cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为 24cm，另一条弦
长为 10cm，则这两条弦之间的距离为 　 　cm．
3．（2022•杨浦区三模）已知 AB 是⊙O的弦，如果⊙O的半径长为 5，AB 长为 4，那么圆心 O到弦 AB 的
距离是　 　．
4．（2022 春•徐汇区期中）已知正三角形 ABC 的弦心距为 a，那么△ABC 的周长是 　 　.（用含 a的式
子表示）．
5．（2021 春•徐汇区校级月考）在⊙O中，弦 AB 的长为 8，它所对应的弦心距为 4，那么半径 OA＝
．
6．（2022 春•长宁区校级期中）如图，已知在 ⊙O中，半径 OC 垂直于弦 AB，垂足为点 D．如果 CD＝
4，AB＝16，那么 OC＝　 　．
7．（2022•浦东新区校级模拟）如图，△ABC 中，∠A＝50°，⊙O截△ABC 的三条边所截得弦长相等，则
∠BOC＝（　　）
A．110° B．115° C．120° D．125°
8．（2022 春•徐汇区校级期中）如图，AB 是⊙O的弦，D为半径 OA 的中点，过 D作CD⊥OA 交弦 AB 于
点E，且 CE＝CB，若 BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为 　 　．
9．（2022•徐汇区校级模拟）如图，点 P是y轴正半轴上一点，以 P为圆心的圆与 x轴、y轴分别交于点
A、B、C、D．已知点 A的坐标为（﹣3，0），点 C的坐标为（0，﹣1），则点 D的坐标为　 　．
10 ． （ 2022• 松江区校级模拟）如图，已知 AB 是⊙O的直径，弦 CD 交AB 于 点 E， ∠ CEA ＝
30°，OF⊥CD，垂足为点 F，DE＝5，OF＝1，那么 CD＝　 　．
11．（2022 春•浦东新区校级期中）如图，点 A、B、C在圆 O上，弦 AC 与半径 OB 互相平分，那么
∠AOC 度数为　 　度．
12．（2022 春•浦东新区校级期中）如图，圆 O经过平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、D，且圆心 O在
平行四边形 ABCD 的外部，tan∠DAB＝ ，D为弧 AB 的中点，⊙O的半径为 5，求平行四边形的面积．
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