第02讲 垂径定理-【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（解析版）

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第 02 讲 垂径定理
目录
考点一：垂径定理
考点二：垂径定理的应用
【基础知识】
一．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论 3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
二．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
【考点剖析】
一．垂径定理（共 16 小题）
1．（2021 春•徐汇区月考）过⊙O内一点 M的最长的弦长为 6cm，最短的弦长为 4cm，则 OM 的长为　
　cm．
【分析】圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点 M且与这条直径垂直的弦，由勾股定理和垂径定理求解即
可．
【解答】解：如图，∵AB＝6cm，CD＝4cm，
∴由垂径定理 OC＝3cm，CM＝2cm，
∴由勾股定理得 OM＝ ＝ ＝ cm，
故答案为 ．
【点评】本题综合考查了垂径定理和勾股定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行
计算．
2．（2022•浦东新区校级模拟）在半径为 13cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为 24cm，另一条弦
长为 10cm，则这两条弦之间的距离为 　 17
或
7 　 cm．
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB 和CD 在圆心同侧；②弦AB 和CD 在圆心异侧；作出半径和弦
心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【解答】解：有两种情况：①如图，当 AB 和CD 在O的两旁时，
过O作MN⊥AB 于M，交 CD 于N，连接 OB，OD，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
由垂径定理得：BM＝AB＝12，DN＝CD＝5，
∵OB＝OD＝10，
由勾股定理得：OM＝ ＝5，
同理 ON＝12，
∴MN＝5+12＝17，
②当AB 和CD 在O的同旁时，MN＝12 5﹣＝7．
故答案为：17 或7．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
3．（2022•杨浦区三模）已知 AB 是⊙O的弦，如果⊙O的半径长为 5，AB 长为 4，那么圆心 O到弦 AB 的
距离是　 　．
【分析】根据题意画出图形，过点 O作OD⊥AB 于点 D，由垂径定理可得出 AD 的长，在 Rt△OAD 中，利
用勾股定理及可求出 OD 的长．
【解答】解：如图所示：
过点 O作OD⊥AB 于点 D，
∵AB＝4，
∴AD＝AB＝×4＝2，
在Rt△OBD 中，
∵OA＝5，AD＝2，
∴OD＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
4．（2022 春•徐汇区期中）已知正三角形 ABC 的弦心距为 a，那么△ABC 的周长是 　 6 a 　 .（用含 a
的式子表示）．
【分析】根据题意画出图形，再利用 30°角的正切得到 BD，由垂径定理得到 BC，进而可得周长．
【解答】解：如图，
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