第01讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系-【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（原卷版）

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第 01 讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

考点一：圆的认识

考点二：点与圆的位置关系

考点三：圆心角、弧、弦的关系

考点四：三角形的外接圆与外心

考点五：综合应用

【基础知识】

一．圆的认识

（1）圆的定义

定义①：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A所形成的图形叫做圆．

固定的端点 O叫做圆心，线段 OA 叫做半径．以 O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”．

定义②：圆可以看做是所有到定点 O的距离等于定长 r的点的集合．

（2）与圆有关的概念

弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意

一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣

弧．

（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．

二．点与圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系有 3种．设⊙O的半径为 r，点 P到圆心的距离 OP＝d，则有：

①点P在圆外⇔d＞r

②点P在圆上⇔d＝r

①点P在圆内⇔d＜r

（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定

该点与圆的位置关系．

（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．

三．圆心角、弧、弦的关系

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其

余各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧

或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一

推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形

与原图形完全重合．

（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．

四．三角形的外接圆与外心

（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．

（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

（3）概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在

三角形的外部．

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而

一个圆的内接三角形却有无数个．

【考点剖析】

一．圆的认识（共 2小题）

1．（2020 秋•浦东新区月考）下列说法正确的是（　　）

A．半圆是弧

B．过圆心的线段是直径

C．弦是直径

D．长度相等的两条弧是等弧

2．（2018 秋•嘉定区期末）已知点 C在线段 AB 上（点 C与点 A、B不重合），过点 A、B的圆记作为圆

O1，过点 B、C的圆记作为圆 O2，过点 C、A的圆记作为圆 O3，则下列说法中正确的是（　　）

A．圆 O1可以经过点 CB．点 C可以在圆 O1的内部

C．点 A可以在圆 O2的内部 D．点 B可以在圆 O3的内部

二．点与圆的位置关系（共 7小题）

3．（2022•宝山区模拟）在直角坐标平面内，如果点 B（a，0）在以 A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，

那么 a的取值范围是（　　）

A．a＞﹣1 B．a＜3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3．

4．（2022•嘉定区校级模拟）矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝3，点 P在边 AB 上，且 BP＝3AP，如果圆

P是以点 P为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（　　）

A．点 B，C均在圆 P外

B．点 B在圆 P外，点 C在圆 P内

C．点 B在圆 P内，点 C在圆 P外

D．点 B，C均在圆 P内

5．（2022 春•徐汇区校级期中）在直角坐标平面内，点 A的坐标为（1，0），点 B的坐标为（a，0），圆

A的半径为 2．下列说法中不正确的是（　　）

A．当 a＝﹣1时，点 B在圆 A上

B．当 a＜1时，点 B在圆 A内

C．当 a＜﹣1时，点 B在圆 A外

D．当﹣1＜a＜3时，点 B在圆 A内

6．（2022• 静安区二模）如图，已知矩形 ABCD 的边 AB ＝6，BC ＝8，现以点 A为圆心作圆，如果

B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径 r的取值范围是　　．

7．（2022•黄浦区二模）已知在△ABC 中，AB＝AC，BC＝10，cotB＝，如果顶点 C在⊙B内，顶点 A

在⊙B外，那么⊙B的半径 r的取值范围是　　．

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