第01讲 圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系-【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（解析版）

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第 01 讲 圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
目录
考点一：圆的认识
考点二：点与圆的位置关系
考点三：圆心角、弧、弦的关系
考点四：三角形的外接圆与外心
考点五：综合应用
【基础知识】
一．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A所形成的图形叫做圆．
固定的端点 O叫做圆心，线段 OA 叫做半径．以 O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点 O的距离等于定长 r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意
一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣
弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
二．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有 3种．设⊙O的半径为 r，点 P到圆心的距离 OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定
该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
三．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧
或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一
推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形
与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
四．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在
三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而
一个圆的内接三角形却有无数个．
【考点剖析】
一．圆的认识（共 2小题）
1．（2020 秋•浦东新区月考）下列说法正确的是（　　）
A．半圆是弧
B．过圆心的线段是直径
C．弦是直径
D．长度相等的两条弧是等弧
【分析】利用圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、半圆是弧，正确，符合题意；
B、过圆心的弦是直径，故原命题错误，不符合题意；
C、弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；
D、长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大．
2．（2018 秋•嘉定区期末）已知点 C在线段 AB 上（点 C与点 A、B不重合），过点 A、B的圆记作为圆
O1，过点 B、C的圆记作为圆 O2，过点 C、A的圆记作为圆 O3，则下列说法中正确的是（　　）
A．圆 O1可以经过点 CB．点 C可以在圆 O1的内部
C．点 A可以在圆 O2的内部 D．点 B可以在圆 O3的内部
【分析】根据已知条件对个选项进行判断即可．
【解答】解：∵点 C在线段 AB 上（点 C与点 A、B不重合），过点 A、B的圆记作为圆 O1，
∴点 C可以在圆 O1的内部，故 A错误，B正确；
∵过点 B、C的圆记作为圆 O2，
∴点 A可以在圆 O2的外部，故 C错误；
∵过点 C、A的圆记作为圆 O3，
∴点 B可以在圆 O3的外部，故 D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识，根据已知条件正确的作出判断是解题的关键．
二．点与圆的位置关系（共 7小题）
3．（2022•宝山区模拟）在直角坐标平面内，如果点 B（a，0）在以 A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，
那么 a的取值范围是（　　）
A．a＞﹣1 B．a＜3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3．
【分析】由点 B（a，0）在以 A（1，0）为圆心，2为半径的圆内知|a1|﹣＜2，据此可得答案．
【解答】解：∵点 B（a，0）在以 A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，
∴|a1|﹣＜2，
则﹣2＜a1﹣＜2，
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