2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习15 压轴题精讲-动点专题（教师版）

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专题 015 压轴题精讲-动点专题

【典例分析】

1．（2021 秋•嘉定区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°中，∠A＝30°，AC＝，将一个 30°角

的顶点 D放在边 AB 上移动，使这个 30°角的两边分别与△ABC 的边 AC、BC 交于点 E、F，且 DE⊥AB．

（1）如图 1，当点 F与点 C重合时，求 CD 的长．

（2）如图 2，设 AD＝x，BF＝y，求 y关于 x的函数解析式，并写出定义域．

（3）联接 EF，若△DEF 是直角三角形，直接写出 AD 的长．

【专题】几何综合题；推理能力．

【分析】（1）证明 DA＝CD＝DB，可得结论；

（2）证明等边三角形 BDF，求出 BF＝BD＝y，可得 x+y＝4，根据 y＝x4≤2﹣，得出 x≥2，根据一定与线段

AC、BC 相交，得出 AD 最大到 M处，求出 AM 即可得出答案；

（3）分为两种情况：①E为直角顶点时．②F为直角顶点时，分别构建方程求解即可．

【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，

∵∠EDF＝30°，∠A＝30°，∴∠ADC＝120°，

∴∠ACD＝180° 30° 120°﹣ ﹣ ＝30°，

∴∠A＝∠ACD＝30°，∴DA＝DC，

∵∠ACB＝90°，∴∠B＝∠DCB＝60°，

∴CD＝DB，∴CD＝AD＝DB，

∵AC＝2，AB＝2BC，∴BC=2，AB＝4，

∴CD＝AB＝2；

（2）∵DE⊥AB，∠EDF＝30°，∴∠FDB＝∠B＝60°，∴△BDF 是等边三角形，∴BF＝BD，

∴AD+BD＝4，∴x+y＝4，∴y＝4﹣x，

∵y≤2，∴4﹣x≤2，∴x≥2，

∵30°角的两边分别与△ABC 的边 AC、BC 交于点 E、F，

∴过 C作CM⊥AB 于M，最后 D只能到 M点，∴x此时是 3，

∴函数的定义域（即 x的取值范围）是：2≤x≤3；

（3）如图 1中，当∠DEF＝90°时，

∵∠ADE＝90°，∠A＝30°，AD＝x，∴DE＝x，

∵∠EDF＝30°，∴DF＝DB＝x，∴x+x＝4，

解得：x＝，即 AD＝；

当∠EFD＝90°时，（如图 2），

∵∠FDE＝30°，∴DF＝DB＝x

∴x+x＝4，解得：x＝，

即AD＝；

综上所述：AD＝或 AD＝．

【点评】本题属于三角形综合题，考查了含 30 度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利

用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．（2021 秋•普陀区期末）已知：如图，△ABC 是边长为 a的等边三角形，D为边 BC 上一点（不与点

B、

C重合），AD 的垂直平分线 EF 分别交边 AB、AC 于点 E、F，联结 DE、DF．

（1）当 a＝4时，如果 D为边 BC 的中点，求 DE 的长；

（2）设 BD＝x，用含有字母 a和x的代数式表示△BDE 的周长与△DFC 的周长的比；

（3）如果△BDE 为直角三角形，求 BE 的长（用含有字母 a的代数式表示）．

【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．

【分析】（1）由等边三角形的性质得 AB＝BC＝AC＝4，AD⊥BC，再由线段垂直平分线的性质得 AE＝

DE，EF 垂直平分 AD，可得 EF∥BC，AE＝BE，根据直角三角形斜边上的中线即可求解；

（2）求出△BDE 的周长＝BE+DE+BD＝AB+BD＝a+x，得出△DFC 的周长＝BC+AC﹣BD＝2a﹣x，即可求

解；

（3）设 BE＝m，分两种情况，①∠CEB＝90°时，由含 30°角的直角三角形的性质得 BD＝2BE＝2m，DE

＝AE＝AB﹣BE＝a﹣m，根据勾股定理求解即可；

②∠BDE＝90°时，由含 30°角的直角三角形的性质得 BD＝BE＝m，DE＝AE＝AB﹣BE＝a﹣m，根据

勾股定理求解即可．

【解答】解：（1）∵等边三角形 ABC 的边长为 a，a＝4，∴AB＝BC＝AC＝4，

∵D为边 BC 的中点，∴AD⊥BC，

∵EF 是AD 的垂直平分线，∴EF∥BC，AE＝BE，∴DE＝AB＝2；

（2）∵EF 是AD 的垂直平分线，∴AE＝DE，AF＝DF，

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