2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习14 压轴题精讲-正反比例函数几何综合 （教师版）

3.0 cande 2025-05-12 16 4 845.82KB 34 页 3知币
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专题 14 正反比例函数压轴综合
【典例分析】
题型一：正反比例函数与线段
1．（2021 秋•虹口区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB 是等边三角形．
（1）在 y轴正半轴取一点 E，使得△EOB 是一个等腰直角三角形，EB 与OA 交于 M，已知 MB＝3，求
MO．
（2）若等边△AOB 的边长为 6，点 C在边 OA 上，点 D在边 AB 上，且 OC＝3BD．反比例函数 y＝
（k≠0）的图象恰好经过点 C和点 D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）
【考点】反比例函数综合题．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）过 M作MH⊥x轴交 x轴于点 H，利用勾股定理得出 OM 与OH 的关系，再计算出 OH 和OM
即可；
（2）过 C作CF⊥x轴交 x轴于点 F，过 D作DG⊥x轴交 x轴于点 G，OF＝a，分别用 a的代数式表示出 C
点和 D点的坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可．
【解答】解：（1）如下图，过 M作MH⊥x轴交 x轴于点 H，
设OH＝m，∵∠EOB＝90°，△EOB 是一个等腰直角三角形，
∴EO＝BO，∠EBO＝45°，
∴直角△MHB 也是等腰直角三角形，即 MH＝BH，
∵MH2+BH2＝BM2，即 2MH2＝（ ）2＝18，解得：MH＝3，
又∵△AOB 是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠OMH＝30°，
∴OM＝2OH＝2m，
在Rt△MOH 中，MH2+OH2＝OM2，即：9+m2＝4m2，
解得： ， （舍）
∴ ；
（2）如下图，过 C作CF⊥x轴交 x轴于点 F，过 D作DG⊥x轴交 x轴于点 G，
设OF＝a，
∵△AOB 是等边三角形，∴∠AOB＝∠ABO＝60°，∴∠OCF＝∠BDG＝30°，
∴OC＝2OF＝2a，BD＝2BG，
∵OC＝3BD，∴ ，∴ ，∴ ，
在Rt△COF 中， ，
在Rt△DBG 中， ，
∴ ， ，
∵点 C和点 D在y= (k≠0)上，则： ，解得： ，
∴反比例函数解析式为 ．
【点评】本题主要考查反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的性质及待定系数法求解析式是解题的
关键．
2．（2020 秋•浦东新区校级期末）已知点 P（m，4）在反比例函数 的图象上，正比例函数的图象经
过点 P和点 Q（6，n）．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）求 P、Q两点之间的距离．
（3）如果点 M在y轴上，且 MP＝MQ，求点 M的坐标．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析
式；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）根据反比例函数解析式求得 P的坐标，然后利用待定系数法即可求得正比例函数的解析式；
（2）求出 Q点坐标，利用勾股定理即可解决问题；
（3）由 MP＝MQ 推点 M在PQ 的垂直平分线上，再利用勾股定理即可求出点 M的坐标．
【解答】解：（1）设正比例函数解析式为 y＝kx（k≠0），
∵点 P（m，4）在反比例函数 的图象上，
∴﹣ ＝4，解得 m＝﹣3，
∴P的坐标为（﹣3，4），
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