27.2.9【专题】相似三角形与圆综合-【知识点专练】2021-2022学年九年级数学下册同步精品课后练习(人教版)(解析版）

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27.2.9【专题】相似三角形与圆综合
学习必知：
相似三角形与圆的综合题，证明相似时，通常是利用圆的性质（圆的内接四边形对角互补、同弧所对的圆
周角相等、直径所对的圆周角是 90°、圆的半径相等、切线的性质等）寻找两个角对应相等，利用“两个
角分别相等的两个三角形相似”来证明.
1．（2020·全国·九年级课时练习）如图，点 A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC 平分∠BAD，AC 交
BD 于点 E，CE=4，CD=6，则 AE 的长为__________.
【答案】5．
【详解】
解：设 AE=x，则 AC=x+4，
∵AC 平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD.
∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），
∴∠CAD=∠CDB，
∴△ACD∽△DCE，
∴ ，即
解得：x=5．
故答案为 5．
【点睛】
本题考查 1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系；3．相似三角形的判定与性质．
2．（2021·湖南岳阳·中考真题）如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交 、
于点 、 ， ， 为 的外接圆，过点 作 的切线 交 于点 ，则下列结论正确的
是______．（写出所有正确结论的序号）
① ；② ；③若 ，则 的长为 ；④ ；⑤若 ，则
．
【答案】②④⑤
【分析】
①根据线段垂直平分线定理， 为 的直径， 为 的弦，即可得出结论；
②根据段垂直平分线得出∠A+∠AED=90°，再证∠A+∠ABC=90°，等量代换即可；
③根据已知条件先得出∠EBC 的度数，再利用圆周角定理得∠EOC=2∠EBC，根据弧长公式计算即可；
④根据角角相似证明△EFD∽△BFE 即可得出结论；
⑤先根据勾股定理得出 BF 的长，再根据等面积法得出 ED，根据角角相似证明 Rt△ADE∽Rt△ACB，得出
，即可计算出结果．
【详解】
解:①∵DE 是 的垂直平分线
∴
为 的直径， 为 的弦
．
故①不正确．
②∵DE 是 的垂直平分线
∴DE⊥AB
∴∠A+∠AED=90°
∵
∴∠A+∠ABC=90°
∴
故②正确．
③连接 OD
的长为 ．
故③错误．
④∵DE⊥AB，F是 的切线
∴∠FEB=∠EDF=90°
又∠EFD=∠EFD
∴△EFD∽△BFE
∴ ．
故④正确．
⑤∵ ，
∴BF=
∵
∴
在Rt△EDB 中，
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