11.3 多边形及其内角和-2022-2023学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

3.0 cande 2025-05-12 11 4 2.06MB 38 页 3知币

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11.3 多边形及其内角和

考点一：多边形及有关概念

　　1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

　　（1）多边形的一些要素：

　　　　边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．

　　　　顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．

　　　　内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个 n 边形有 n 个内角。

　　　　外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

　　（2）在定义中应注意：

　　　　 ①一些线段（多边形的边数是大于等于 3 的正整数）；

　　　　 ②首尾顺次相连，二者缺一不可;

　　　　 ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,

即空间多边形.

考点二、多边形的分类

　　(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形

都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图）.本章所讲的多边形都是

指凸多边形.

　　　　　　　凸多边形　　　　　　凹多边形

　　(2)多边形通常还以边数命名，多边形有

条边就叫做

边形．三角形、四边形都属于多边形，

其中三角形是边数最少的多边形．

考点三：正多边形

　　各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形正方形　正五边形　　正六边形　正十二边形

要点诠释：

　　各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一

定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的

四边形才是正方形

考点四：多边形的对角线

　　多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 . 如图 2，BD 为

四边形 ABCD 的一条对角线。

要点诠释：

　　(1)从 n 边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。

　　(2)n 边形共有条对角线。

考点五：多边形的内角和公式

　　1.公式：边形的内角和为 .

　　2.公式的证明：

要点诠释：

　　(1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的

基础思想。

　　(2)内角和定理的应用：

　　　 ①已知多边形的边数，求其内角和；

　　　 ②已知多边形内角和，求其边数。

考点六：多边形的外角和公式

　　1.公式：多边形的外角和等于 360°.

　　2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的

内角和加外角和为，外角和等于 .

注意：n 边形的外角和恒等于 360°，它与边数的多少无关。

要点诠释：

　　(1)外角和公式的应用：

　　　 ①已知外角度数，求正多边形边数；

　　　 ②已知正多边形边数，求外角度数.

　　(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：

　① n 边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数 n 有关，每

增加 1 条边，内角和增加 180°。

　②多边形的外角和等于 360°，与边数的多少无关。

考点七：镶嵌的概念和特征

　　1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形

覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。

　　2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于 360°；相邻的多边形有公共边。

　　3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：

　　(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为

360°。

(2)只用一种正多边形镶嵌地面

对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题

的关键在于正多边形的内角特点。当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一

个周角 360°时，就能铺成一个平面图形。

事实上，正 n 边形的每一个内角为，要求 k 个正 n 边形各有一个内角拼于一点，

恰好覆盖地面，这样 360°＝，由此导出 k＝＝2＋，而 k 是正整

数，所以 n 只能取 3,4，6。因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边

形的地砖可以用。

　　注意：任意四边形的内角和都等于 360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形

地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。

(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面

用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角

之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三

角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形

与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平

面镶嵌，见下图：

又如，用一个正三角形、两个正方形、

一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因

为它们的交接处各角之和恰好为一个周角

360°。

规律方法指导

　　1．内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少. 每增加一条边，内

角的和就增加 180°（反过来也成立），且多边形的内角和必须是 180°的整数倍.

　　2．多边形外角和等于 360°，与边数的多少无关.

　　3．多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，

最少没有钝角.

　　4．在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解

决本节问题的常用方法.

　　5．在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图

形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用.

题型一：多边形的概念和分类

1．（2022·全国·八年级专题练习）下列命题正确的是（）

A．各边相等的多边形是正多边形

B．各内角分别相等的多边形是正多边形

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