《七年级数学下册举一反三系列（人教版）》专题6.1 平方根与立方根【九大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）

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专题 6.1 平方根与立方根【九大题型】
【人教版】
【题型 1 平方根、立方根的概念及表示】................................................................................................................1
【题型 2 平方根性质的运用】....................................................................................................................................2
【题型 3 开平方、开立方的运算】............................................................................................................................3
【题型 4 利用开平方、开立方解方程】....................................................................................................................3
【题型 5 算术平方根的概念及非负性】....................................................................................................................4
【题型 6 开方运算中的小数点移动规律】................................................................................................................5
【题型 7 平方根与立方根综合】................................................................................................................................6
【题型 8 算术平方根、立方根的应用】....................................................................................................................6
【题型 9 算术平方根、立方根的规律探究】...........................................................................................................7
【知识点 1 平方根的概念及表示】
①定义：如果
x2=a(a ≥ 0)
，那么
x
叫做
a
的平方根，也称为二次方根.
②表示方法：正数
a
的正的平方根记作
❑
√
a
，负的平方根记作
−❑
√
a
，正数
a
的两个平方根记作
，读作正、
负根号
a
，其中
a
叫做被开方数.
【知识点 2 立方根的概念及性质】
（1）一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a的立方根或三次方根。即如果 x3=a，那么 x叫
做a的立方根，记作 。即 。
（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是 0.
【题型 1 平方根、立方根的概念及表示】
【例 1】（2022 春•海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（　　）
A．﹣aB．﹣a2+1 C．﹣a2D．﹣a21﹣
【变式 1-1】（2022 春•鞍山期末）下列说法正确的是（　　）
A．﹣1是1的平方根 B．﹣1是-1 的平方根
C．﹣1是1的立方根 D．﹣1没有立方根
【变式 1-2】（2022 春•应城市期末）下列各式中，正确的是（　　）
A．
−❑
√
−9=3
B．
3
√
−27=−3
C．
3
√
1
8=±1
2
D．
3
√
8=−2
【变式 1-3】（2022 春•高安市期中）下列叙述中，错误的是（　　）
A．0只有一个平方根 B．若 x2＝3，则 x＝±
❑
√
3
C．
❑
√
64
的立方根是 2 D．512 的立方根是±8
【知识点 3 平方根的性质】
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
【题型 2 平方根性质的运用】
【例 2】（2022 春•临洮县期中）一个正数 x的两个平方根分别是 2a1﹣ 与﹣a+2，求 a的值和这个正数 x
的值．
【变式 2-1】（2022•工业园区期中）一个正数 M的两个平方根分别是 2a+3 和2b1﹣ ，求（a+b）2022．
【变式 2-2】（2022 春•孟村县期中）已知正实数 x的两个平方根是 m和m+b．
（1）当 b＝8时，m的值是　　；
（2）若 m2x+（m+b）2x＝4，则 x＝　　．
【变式 2-3】（2022 春•建安区期中）若 a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是 2，则代数式 a+b的值为
（　　）
A．8 B．0 C．8或0 D．4或﹣4
【知识点 4 开平方】
求一个数的平方根的运算叫做开平方．
【知识点 5 开立方】
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
【题型 3 开平方、开立方的运算】
【例 3】（2022 春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知 a＝　 　 ，b＝　 　 ．
【变式 3-1】（2022 春•绥棱县期末）已知 x、y为实数，且满足
❑
√
1+x+❑
√
1− y=¿
0，那么 x2022﹣y2022 ＝
．
【变式 3-2】（2022 春•五常市期末）
1
106
的平方根是 　 　 ，﹣27 的立方根是 　　．
【变式 3-3】（2022 春•龙岩期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的 x为64 时，输出的 y是（
　）
A．2
❑
√
2
B．2 C．
❑
√
2
D．±
❑
√
2
【题型 4 利用开平方、开立方解方程】
【例 4】（2022•靖江市期末）求出下列 x的值：
（1）4x29﹣ ＝0；
（2）8（x+1）3＝125．
【变式 4-1】（2022 春•阆中市期中）（1）已知 4（x3﹣ ）2＝64，求 x的值．
（2）已知（x+1）3+27＝0，求 x的值．
【变式 4-2】（2022 春•安陆市期中）求 x的值：（1）2x2＝50；
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