《七年级数学下册尖子生同步培优题典》专题9.8方程（组）与不等式相结合的解集问题（重难点培优）（解析版）【人教版】

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2021-2022 学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】
专题 9.8 方程（组）与不等式相结合的解集问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一．解答题（共 24 小题）
1．（2021 春•锦江区校级期中）关于 x，y的二元一次方程组
{
x+y=4
2x − y=3p+2
)
的解是正数．
（1）用含 p的代数式表示方程组的解 x＝　 p +2 　 ，y＝　﹣ p +2 　 ．
（2）求整数 p的值．
【分析】（1）将 p看作常数，利用加减消元法求解可得；
（2）根据方程组的解为正数列出关于 p的不等式组，解之求出 p的取值范围，从而得出答案．
【解答】解：（1）
{
x+y=4①
2x − y=3p+2②
)
，
①+②，得：3x＝3p+6，
解得 x＝p+2，
将x＝p+2 代入①，得：p+2+y＝4，
∴y＝﹣p+2，
故答案为：p+2，﹣p+2；
（2）根据题意，得：
{
p+2＞0③
− p+2＞0④
)
，
解不等式③，得：p＞﹣2，
解不等式④，得：p＜2，
∴﹣2＜p＜2，
则整数 p的值为±1 或0．
2．（2021 春•江都区校级期末）已知关于 x，y的方程组
{
x+y=−6+m
x − y=3m− 2
)
．
（1）求方程组的解（用含 m的代数式表示）；
（2）若方程组的解同时满足 x为非正数，y为负数，求 m的取值范围；
（3）在（2）的条件下化简|m2|+|3﹣ ﹣m|．
【分析】（1）利用加减法解关于 x、y的方程组；
（2）利用方程组的解得到
{
2m− 4≤0
−m −2＜0
)
，然后解关于 m的不等式组即可求解；
（3）根据（2）的结论﹣2＜m≤2 进行化简即可求解．
【解答】解：（1）
{
x+y=−6+m①
x − y=3m− 2②
)
，
由①+②，得 2x＝4m8﹣，解得 x＝2m4﹣，
由①﹣②，得 2y＝﹣2m4﹣，解得 y＝﹣m2﹣，
所以原方程组的解是
{
x=2m− 4
y=− m−2
)
；
（2）∵x为非正数，y为负数，
∴x≤0，y＜0，
即
，
解得﹣2＜m≤2；
（3）∵﹣2＜m≤2，
∴|m2|+|3﹣ ﹣m|＝2﹣m+3﹣m＝5 2﹣m．
3．已知关于 x、y的方程组
{
3x+y=2k+1
x − y=6k −5
)
的解是非负数．
（1）求方程组的解（用含 k的代数式表示）；
（2）求 k的取值范围；
（3）化简：|2k1|+|﹣k2|﹣．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）根据方程组的解为非负数得出关于 k的不等式组，解每个不等式，再根据口诀“大小小大中间
找”可得 k的取值范围；
（3）由以上所求 k的取值范围得到 2k1﹣、k2﹣的正负，再去绝对值符号、合并同类项即可．
【解答】解：（1）
{
3x+y=2k+1①
x − y=6k −5②
)
，
①+②，得：4x＝8k4﹣，
解得 x＝2k1﹣，
将x＝2k1﹣代入②，得：2k1﹣ ﹣y＝6k5﹣，
解得 y＝﹣4k+4，
∴方程组的解为
{
x=2k −1
y=−4k+4
)
；
（2）∵方程组的解是非负数，
∴
{
2k −1≥0③
−4k+4≥0④
)
，
解不等式③，得：k≥0.5，
解不等式④，得：k≤1，
则不等式组的解集为 0.5≤k≤1；
（3）∵0.5≤k≤1，
∴2k1≥0﹣，k2﹣＜0，
则|2k1|+|﹣k2|﹣
＝2k1+2﹣ ﹣k
＝k+1．
4．（2021 春•南京月考）已知关于 x、y的方程组
{
x+y=−1−3a
− x +y=7+a
)
的解 x是负数，y是非负数．
（1）求 a的取值范围；
（2）化简：|a+1|+|a3|﹣；
（3）如果 a满足|a+1|+|a3|﹣＝5，试求 a的值．
【分析】（1）解出方程组，根据题中所给条件得到不等式组
{
−4−2a＜0
3− a ≥ 0
)
，求出 a的范围即可；
（2）根据（1）的范围，分两种情况化简：当﹣2＜a＜﹣1时，|a+1|+|a3|﹣＝2 2﹣a；当﹣1≤a≤3 时，|
a+1|+|a3|﹣＝4；
（3）由（2）可知﹣2＜a＜﹣1，则|a+1|+|a3|﹣＝2 2﹣a＝5，求出 a值即可．
【解答】解：（1）解方程组，得
{
x=−4−2a
y=3−a
)
，
∵x是负数，y是非负数，
∴
{
−4−2a＜0
3− a ≥ 0
)
，
∴﹣2＜a≤3，
∴a的取值范围是﹣2＜a≤3；
（2）∵﹣2＜a≤3，
当﹣2＜a＜﹣1时，|a+1|+|a3|﹣＝﹣a1+3﹣ ﹣a＝2 2﹣a；
当﹣1≤a≤3 时，|a+1|+|a3|﹣＝a+1+3﹣a＝4；
（3）∵|a+1|+|a3|﹣＝5，
由（2）可知﹣2＜a＜﹣1，
此时|a+1|+|a3|﹣＝2 2﹣a＝5，
∴a
¿−3
2
，
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