《七年级数学下册从重点到压轴（人教版）》专题9.5 一元一次不等式组的应用（重点题专项讲练）（人教版）（解析版）

3.0 cande 2025-05-17 34 4 81.56KB 20 页 3知币
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专题 9.5 一元一次不等式组的应用
【典例 1】为应对新冠肺炎疫情，某服装厂决定转型生产口罩，根据现有厂房大小打算购买 10 条口罩生产
线，现有甲、乙两种型号的口罩生产线、经调查：购买 3条甲型口罩生产线比购买 2条乙型口罩生产线多
花14 万元，购买 4条甲型口罩生产线与购买 5条乙型口罩生产线所需款数相同．
（1）求甲、乙两种型号口罩生产线的单价；
（2）已知甲型口罩生产线每天可生产口罩 9万只，乙型口罩生产线每天可生产口罩 7万只，若每天要求产
量不低于 75 万只，预算购买口罩生产线的资金不超过 90 万元，为了节约资金，请你为该服装厂设计一种
最省钱的购买方案．
【思路点拨】
（1）设甲型口罩生产线的单价为 x万元，乙型口罩生产线的单价为 y万元，根据“购买 3条甲型口罩生产
线比购买 2条乙型口罩生产线多花 14 万元，购买 4条甲型口罩生产线与购买 5条乙型口罩生产线所需款数
相同”，即可得出关于 x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种型号口罩生产线的单价；
（2）设购买 m条甲型口罩生产线，则购买（10﹣m）条乙型口罩生产线，根据“每天要求产量不低于 75
万只，预算购买口罩生产线的资金不超过 90 万元”，即可得出关于 m的一元一次不等式组，解之即可得
出m的取值范围，结合 m为正整数即可得出各购买方案，再利用总价＝单价×数量，可求出各方案所需购
买资金，比较后即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设甲型口罩生产线的单价为 x万元，乙型口罩生产线的单价为 y万元，
依题意得：
{
3x−2y=14
4x=5y
，
解得：
{
x=10
y=8
．
答：甲型口罩生产线的单价为 10 万元，乙型口罩生产线的单价为 8万元．
（2）设购买 m条甲型口罩生产线，则购买（10﹣m）条乙型口罩生产线，
依题意得：
{
9m+7(10−m)≥75
10 m+8(10−m)≤90
，
解得：
5
2≤
m≤5．
又∵m为正整数，
∴m可以为 3，4，5，
∴该服装厂共有 3种购买方案，
方案 1：购买 3条甲型口罩生产线，7条乙型口罩生产线，共需购买资金 10×3+8×7＝86（万元）；
方案 2：购买 4条甲型口罩生产线，6条乙型口罩生产线，共需购买资金 10×4+8×6＝88（万元）；
方案 3：购买 5条甲型口罩生产线，5条乙型口罩生产线，共需购买资金 10×5+8×5＝90（万元）．
又∵86＜88＜90，
∴当该服装厂购买 3条甲型口罩生产线，7条乙型口罩生产线时最省钱．
1．（2021 春•仙居县期末）小敏妈妈为小敏爸爸购买了一双运动鞋．小敏、哥哥和爸爸都想知道这双鞋的
价格，妈妈让他们猜．爸爸说“至少 300 元．”哥哥说：“至多 260 元．”小敏说：“至多 200 元．”妈
妈说：“你们三个人都说错了．”则这双鞋的价格 x（元）所在的范围是（　　）
A．200＜x＜260 B．260＜x＜300 C．200≤x≤260 D．260≤x≤300
【思路点拨】
由爸爸、哥哥和小敏的说法都不对，即可得出关于 x的一元一次不等式组，解之即可得出 x的取值范围．
【解题过程】
解：依题意得：
{
x＜300
x＞260
x＞200
，
∴260＜x＜300．
故选：B．
2．（2021 春•永昌县期末）六一儿童节到了要把一些苹果分给几个小朋友，如果每人分 3个，则剩 8个；
如果每人分 5个，那么最后一个小朋友就分不到 3个，则共有多少个小朋友（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【思路点拨】
首先设共有 x个小朋友，则苹果有（3x+8）个，由关键语句“如果每人分 5个，那么最后一个小朋友就分
不到 3个”可得不等式 0≤（3x+8）﹣5（x1﹣）＜3，解不等式，取整数解即可．
【解题过程】
解：设共有 x个小朋友，则苹果有（3x+8）个，由题意得：
0≤（3x+8）﹣5（x1﹣ ）＜3，
解得：5＜x≤6
1
2
，
∵x为正整数，
∴x＝6．
故选：C．
3．（2020 春•昌黎县期末）某储运站现有甲种货物 1530 吨，乙种货物 1150 吨，安排用一列货车将这批货
物运往青岛，这列货车可挂 A，B两种不同规格的货厢 50 节．已知甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨可装满
一节 A型货厢，甲种货物 25 吨和乙种货物 35 吨可装满一节 B型货厢，按此要求安排 A，B两种货厢的节数，
有几种运输方案（　　）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【思路点拨】
当这列货车挂 50 节货箱时，设应安排 x节A型货厢，则安排（50﹣x）节 B型货厢，根据 50 节货厢一次可
运甲种货物不少于 1530 吨，乙种货物不少于 1150 吨，即可得出关于 x的一元一次不等式组，解之即可得
出x的取值范围，再结合 x为正整数，即可得出此种情况下运输方案的个数；当这列货车挂 49 节货箱时，
设应安排 y节A型货厢，则安排（49﹣y）节 B型货厢，根据 49 节货厢一次可运甲种货物不少于 1530 吨，
乙种货物不少于 1150 吨，即可得出关于 y的一元一次不等式组，由该不等式组无解可得出总共只有 3种运
输方案．
【解题过程】
解：当这列货车挂 50 节货箱时，设应安排 x节A型货厢，则安排（50﹣x）节 B型货厢，
依题意，得：
，
解得：28≤x≤30．
∵x为正整数，
∴x可以取 28，29，30，
∴此种情况下有 3种运输方案；
当这列货车挂 49 节货箱时，设应安排 y节A型货厢，则安排（49﹣y）节 B型货厢，
依题意得：
{
35 y+25(49−y)≥1530
15 y+35(49−y)≥1150
，
∵该不等式组无解，
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