《八年级数学上学期期末解答题必刷专题（人教版）》专题03 等腰（边）三角形（解析版）

3.0 cande 2025-05-17 20 4 1.01MB 36 页 3知币

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等腰（等边）三角形

1．如图，△ABC 中，AB=AC，点 D、E在BC 边上，AD=AE．

（1）如图 1，求证：；

（2）如图 2，若点 E在AC 的垂直平分线上，当时，直接写出图中所有的等腰三角形（不包括

）．

【答案】（1）见解析；（2）△ABD、△AEC、△ABE、△ADC．

【分析】

（1）首先过点 A作AF⊥BC 于点 F，由 AD=AE，AB=AC，根据三线合一的性质，可得

∠DAF=∠EAF，∠BAF=∠CAF，两式相减结论即可证明；

（2）根据等腰三角形的判定解答即可．

【详解】

解：（1）证明：如图，过点 A作AF⊥BC 于点 F，

∵AD=AE，AF⊥BC，

∴∠DAF=∠EAF，

∵AB=AC，AF⊥BC，

∴∠BAF=∠CAF，

∴∠BAF-∠DAF=∠CAF-∠EAF，即∠BAD=∠CAE；

（2）∵点 E在AC 的垂直平分线上，

∴AE=CE，

∴∠CAE=∠C=36°，

∴∠BAD=∠CAE=36°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=36°，

∴∠BAD=∠CAE=∠B=∠C=36°，

∴BD=AD=AE=EC，∠BEA=∠ADE=∠BAE=∠DAC=72°，

∴AB=AC=BE=CD，

∴图中所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC．

【点睛】

此题考查了等腰三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的运用．

2．在等腰△ABC 中，AB=AC，点 D是AC 上一动点，点 E在的 BD 延长线上，且 AB=AE，AF 平分∠CAE

交DE 于点 F，连接 FC．

（1）如图 1，求证：∠ABE=∠ACF；

（2）如图 2，当∠ABC=60°时，在 BE 上取点 M，使 BM=EF，连 AM．

①求证：是等边三角形；

②求证：AF+EF=FB．

（3）如图 3，当∠ABC=45°，延长 BA、CF 交于 N，且 AE∥BC 时，求证：BD=2EF．

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）见解析

【分析】

（1）利用 SAS 定理证明△ACF≌△AEF，根据全等三角形的性质得到∠E=∠ACF，根据等腰三角形的性质

得到∠E=∠ABE，等量代换证明结论；

（2）①证明△ABM≌△ACF，根据全等三角形的性质得到 AM=AF，∠BAM=∠CAF，进而证明△AMF 为

等边三角形；

②结合图形即可证明结论；

（3）证明△BFN≌△BFC，得到 CN=2CF=2EF，再证明△BAD≌△CAN，得到 BD=CN，等量代换得到答

案．

【详解】

证明：（1）∵AF 平分∠CAE，

∴∠EAF=∠CAF，

∵AB=AC，AB=AE，

∴AE=AC，

在△ACF 和△AEF 中，

，

∴△ACF≌△AEF（SAS），

∴∠E=∠ACF，

∵AB=AE，

∴∠E=∠ABE，

∴∠ABE=∠ACF；

（2）①∵△ACF≌△AEF，

∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，

在△ABM 和△ACF 中，

，

∴△ABM≌△ACF（SAS），

∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，

∵AB=AC，∠ABC=60°，

∴△ABC 是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，

∵AM=AF，

∴△AMF 为等边三角形，

②∵△AMF 为等边三角形，

∴AF=AM=MF，

∴AF+EF=BM+MF=FB；

（3）∵AE∥BC，

∴∠E=∠EBC，

∵AB=AE，

∴∠ABE=∠E，

∴∠ABF=∠CBF，

∵∠ABC=45°，

∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，∠BAC=180°-45°-45°=90°，

∴∠ACF=∠ABF=22.5°，

∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，

∴∠BFN=∠BFC=90°，

在△BFN 和△BFC 中，

，

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