《2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）》专题4.24 余角和补角（知识讲解）

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专题 6.24 余角和补角（知识讲解）
【学习目标】
1. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质；
2. 会用余角、补角性质进行有关计算；
【要点梳理】
知识点一、余角与补角
1. 定义：一般地，如果两个角的和等于 90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其
中一个角是另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和等于 180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角
是另一个角的补角．
2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．
特别说明：
(1) 互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而
与它们的位置无关．
(2) 一般地，锐角 α 的余角可以表示为(90°-α)，一个角 α 的补角可以表示为
(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大 90°．
知识点二 邻补角
1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有
这种关系的两个角叫做互为邻补角．
特别说明：
(1) 邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，
“补”指的是两个角的和为 180°．
(2) 邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．
(3) 互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
(4) 邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.
【典型例题】
类型一、余角、补角的理解
1、下列说法中正确的是（）
A．一个锐角的余角比这个锐角的补角小 90°
B．如果一个角有补角，那么这个角必是钝角
C．如果 ，则 ， ， 互为余角
D．如果 与 互为余角， 与 互为余角，那么 与 也互为余角
【答案】A
【分析】根据余角和补角的定义以及性质进行判断即可，
解：A.一个锐角 的余角 比这个角的补角 小 ，故选项正确；
B. 的补角为 ，故选项错误；
C.当两个角的和为 ，则这两个角互为余角，故选项错误；
D.如果 与 互为余角， 与 互为余角，那么 与 相等，故选项
错误．
故选：A
【点拨】本题考查了余角、补角的概念及其性质．余角和补角指的是两个角之间的关
系：两角和为 为互余，和为 为互补；同角（或等角）的余角（或补角）相等；另
外，证明一个命题的错误性还可以用举反例的方法．熟记定义和性质进行判断即可．
举一反三：
【变式 1】下列判断正确的个数是()
①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③锐角和钝角互补；④
如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
解：锐角的补角一定是钝角，①正确；
钝角的补角小于这个角，②错误；
锐角和钝角不一定互补，③错误；
如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等，④正确；
正确的判断有 2个．
故选 C．
【变式 2】下列关于余角、补角的说法，正确的是（）
A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余
B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互补
C．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余
D．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补
【答案】A
【分析】若两个角的和为 90°，则这两个角互余；若两个角的和为 180°，则这两个角
互补．根据此定义判断即可．
解：A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余，此选项符合题意；
B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互余，此选项不符合题意；
C．3个角不符合互余的定义，此选项不符合题意；
D．3个角不符合互补的定义，此选项不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查了余角和补角，解题的关键是熟悉余角和补角的定义和性质．
类型二、求一个角的余角和补角
2、已知：锐角∠AOB．
（1）若∠AOB=65°，则∠AOB 的余角的度数为________度．
（2）若∠AOB=53°17ʹ，则∠AOB 的补角的度数为________．
（3）若∠AOB=31°12ʹ，计算： ∠AOB=___________．
（4）若∠AOB=20°21ʹ，计算：3∠AOB．
【答案】（1）25°；（2）126°43ʹ；（3）15°36ʹ；（4）61°3ʹ．
【分析】（1）根据余角的性质，即可求解；
（2）根据补角的性质，即可求解；
（3）用 乘以∠AOB，即可求解；
（4）用 3乘以∠AOB，即可求解．
解：（1）∠AOB 的余角的度数为
（2） ；
（3） ；
（4）3∠AOB=3×20°21ʹ=60°63ʹ=61°3ʹ．
【点拨】本题主要考查了余角和补角，角的倍分关系，熟练掌握余角和补角的性质，
角的倍分关系是解题的关键．
举一反三：
【变式 1】如图，点 A，O，B在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC
和∠BOC， 图中哪些角互为余角？哪些角互为补角？
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