《2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）》专题3.20 实际问题与一元一次方程（二）（知识讲解）

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专题 3.20 实际问题与一元一次方程（二）（知识讲解）
【学习目标】
1. 熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；
2. 熟悉日历、利润、方案选择、数字问题及几何问题的解题思路．
【要点梳理】
【知识点一】用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题

分析
抽象
方程

求解
检验
解答．由此可得解决此
类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
特别说明：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它
们之间的关系，寻找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注
意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指
出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
【知识点二】常见列方程解应用题的几种类型
【类型 1】和、差、倍、分问题
此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语
体现等量关系。审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别。
【类型 2】等积变形问题。
此类问题的关键在“等积”上,是等量关系的所在,必须掌握常见几何图形的面积、
体积公式。
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为 :① 形状面积变
了,周长没变;② 原料体积=成品体积。
【类型 3】调配问题,
从调配后的数量关系中找等量关系,常见是“和、差、倍、分”关系,要注意调配
对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化,
常见题型有:
①既有调入又有调出:
②只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;
③只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。
【类型 4】行程问题
要掌握行程中的基本关系:路程=速度×时间。
相遇问题:
相向而行：等量关系：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题
同向而行：等量关系：甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程
【类型 5】工程问题
基本数量关系:工作总量=工作效率×工作时间;
合做的效率=各单独做的效率的和。
当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”,分析时可采用列表或画图来
帮助理解题意。
【类型 6】利润问题
= 100%
利润
利润率 进价
标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
实际售价＝标价×打折率
利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右
边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十
销售．
【类型 7】存贷款问题
（1）利息=本金×利率×期数
（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×
期数)
（3）实得利息=利息-利息税
（4）利息税=利息×利息税率
（5）年利率＝月利率×12
（6）月利率＝年利率×
12
1
【类型 8】数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若
一个两位数的个位数字为
a
，十位数字为
b，
则这个两位数可以表示为 10
b+a
【类型 9】方案问题 选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方
案的优劣性后下结论．
【典型例题】
【类型一】日历问题
1．2022 年是共青团建团 100 周年．1922 年5月5日，中国社会主义青年团第一
次全国代表大会在广州召开，标志中国青年团组织的正式成立．从此，青年团作为中国共
产党的助手和后备军，在党的领导下团结带领全国各族青年，积极投身到振兴中华，实现
中华民族伟大复兴的事业中．在 5月日历表上随意用一个正方形方框圈出4个数（如图所
示），若圈出的这四个数的和是 64，求这个最小数（请用方程知识解答）．
【答案】这个最小数是 12
【分析】设这个最小数为 x，则四个数分别为 x，x+1，x+7，x+8，根据圈出的这四个
数的和是 64，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设这个最小的数是 .
根据题意，得 .
解，得 .
答：这个最小数是 12.
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是
解题的关键．
举一反三：
【变式 1】 把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称
为第1行、第2行、第3行……，从左到右分别称为第1列、第2列、第3列……．用如图
2所示的方框在图 1中框住16 个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为
a，b，c，d．设 a＝x．
(1)在图 1
中，数 2022 排在第几行第几列？
(2)若，求出 d所表示的数；
(3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时 的值能否为
2700？如果能，请求出 a所表示的数，并求出 a在图 1中排在第几行第几列；如果不能，
请说明理由．
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