《2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）》专题3.17 实际问题与一元一次方程（一）（知识讲解）

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专题 3.17 实际问题与一元一次方程（一）（知识讲解）

【学习目标】

1. 熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；

2. 熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．

【要点梳理】

【类型】一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题



分析

抽象

方程



求解

检验

解答．由此可得解决此

类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．

特别说明：

（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它

们之间的关系，寻找等量关系；

（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数；

（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注

意方程两边是同一类量，单位要统一；

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；

（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指

出，舍去即可；

（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．

【类型】二、常见列方程解应用题的几种类型

【类型 1】和、差、倍、分问题

此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语

体现等量关系。审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别。

【类型 2】等积变形问题。

此类问题的关键在“等积”上,是等量关系的所在,必须掌握常见几何图形的面积、

体积公式。

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为 :① 形状面积变

了,周长没变;② 原料体积=成品体积。

【类型 3】调配问题,

从调配后的数量关系中找等量关系,常见是“和、差、倍、分”关系,要注意调配

对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化,

常见题型有:

①既有调入又有调出:

②只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;

③只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。

【类型 4】行程问题

要掌握行程中的基本关系:路程=速度×时间。

相遇问题:

相向而行：等量关系：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题

同向而行：等量关系：甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程

【类型 5】工程问题

基本数量关系:工作总量=工作效率×工作时间;

合做的效率=各单独做的效率的和。

当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”,分析时可采用列表或画图来

帮助理解题意。

【类型 6】利润问题

= 100%

利润

利润率进价

标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)

实际售价＝标价×打折率

利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右

边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十

销售．

【类型 7】存贷款问题

（1）利息=本金×利率×期数

（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×

期数)

（3）实得利息=利息-利息税

（4）利息税=利息×利息税率

（5）年利率＝月利率×12

（6）月利率＝年利率×

【类型 8】数字问题

已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若

一个两位数的个位数字为

，十位数字为

b，

则这个两位数可以表示为 10

b+a

【类型 9】方案问题选择设计方案的一般步骤：

（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．

（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方

案的优劣性后下结论．

【典型例题】

【类型一】和、差、倍、分问题

1．粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无

人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资 9000 万元改装260 辆无人驾

驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是 50 万元，预计明年每辆无人驾

驶出租车的改装费用可下降．

（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；

（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．

【答案】（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是 25 万元；（2）明年改装的

无人驾驶出租车是160 辆．

【分析】（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是 50 万元，预计明年每辆无

人驾驶出租车的改装费用可下降，列出式子即可求出答案；

（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资 9000 万元改装260 辆无人驾驶出租车投

放市场”列出方程，求解即可．

解：（1）依题意得：（万元）

（2）设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260-

x）辆,依题意得：

解得：

答：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是 25 万元；（2）明年改装的无人

驾驶出租车是160 辆．

【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是找到数量关系，列

出方程．

举一反三：

【变式 1】在五一期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门

票时，小明与他爸爸的对话(如图)，试根据图中的信息，解答下列问题：

(1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？

(2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？并说明理由．

【答案】（1）小明他们一共去了 8个成人，4个学生；（2）购团体票更省钱．

【分析】（1）设去了 x个成人，则去了（12−x）个学生，根据爸爸说的话，可确定相

等关系为：成人的票价＋学生的票价＝350 元，据此列方程求解；

（2）计算团体票所需费用，和 350 元比较即可求解．

解：(1)设成人人数为 x人，则学生人数为(12－x)人．

根据题意，得 35x＋ (12－x)＝350．

解得 x＝8．

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