《2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）》专题08 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质2(解析版)（重点突围）

3.0 cande 2025-05-17 16 4 1.89MB 50 页 3知币
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专题 07 二次函数 y=ax²+bx+c的图象和性质（2）
考点一 二次函数图象判断各项系数与式子的符号
考点二 一次函数、反比例函数与二次函数图象综合判断
考点三 利用二次函数的对称性求最短路径
考点四 二次函数与几何图形的综合应用
考点一 二次函数图象判断各项系数与式子的符号
例题：（2022·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象如图
所示，有下列 5个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确
的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断 a与0的关系，由抛物线与 y轴的交点判断 c与0的关系，然后根据对称轴及抛物
线与 x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在 y轴右侧，
∴对称轴为 x＝ ＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与 y轴的交点在 y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②∵对称轴为 x＝ ＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②错误；
③由图象的对称性可知：当 x＝3时，y＜0，
∴9a＋3b+c＜0，
故③错误；
④由图象可知，该抛物线与 x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，即 b2＞4ac；
故④正确；
⑤由图象可知当 x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴ ，
故⑤正确．
综上所述，正确的结论是：④⑤．
故选：B．
【点睛】
本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求 a与b的关系、熟练掌握二次函数与方
程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古·包头市第三十五中学三模）已知二次函数 的图象如图所示，有下列
结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ （ ，m为实数），其
中正确的结论有（）个．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据二次函数的图像与系数的关系及性质进行求解即可．
【详解】
解：由图像可知：对称轴为直线
即
∴① ，
故错误．
②由二次函数的图像可知与 x轴的一个交点在 0和 之间，根据二次函数的对称性可知抛物线与 x轴的另
外一个交点在 2和3之间，
∴当 时，即
故正确．
③ 时 即
故正确．
④ 时， 即
又∵对称轴
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