《2023学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）》专题2.9 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50道）（举一反三）（浙教版）（解析版）

3.0 cande 2025-05-17 22 4 1.13MB 70 页 3知币
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专题 2.9 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50 道）
【浙教版】
考卷信息：
本套训练卷共 50 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对等腰三角形工具的应用及构造等
腰三角形！
一．解答题（共 50 小题）
1．（2022 秋•开福区校级期末）如图，在四边形 ABCD 中，BD 所在的直线垂直平分线段 AC，过点 A作
AF∥BC 交CD 于F，延长 AB、DC 交于点 E．
（1）求证：AC 平分∠EAF；
（2）求证：∠FAD＝∠E；
（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，AF＝3，求 CF 的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到 BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，
根据平行线的性质得到∠CAF＝∠BCA，等量代换证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到 DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，再根据三
角形的外角性质证明即可；
（3）根据三角形的内角和定理得到∠E+ ADE∠＝90°，由（2）知，∠FAD＝∠E，求得∠AFD＝∠AFE＝
90°，根据勾股定理得到 EF
¿❑
√
A E2−A F2=¿
4，设 DF＝x，求得 DF
¿9
4
，得到 AD
¿❑
√
D E2−A E2=15
4
，
根据线段垂直平分线的性质得到 AD＝CD
¿15
4
，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵BD 所在的直线垂直平分线段 AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC AF∥，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，
即AC 平分∠EAF；
（2）证明：∵BD 所在的直线垂直平分线段 AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA 是△ACE 的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+ EAC∠，
∴∠E+ EAC∠＝∠FAD+ CAF∠，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E；
（3）解：∵∠EAD＝90°，
∴∠E+ ADE∠＝90°，
由（2）知，∠FAD＝∠E，
∴∠DAF+ ADE∠＝90°，
∴∠AFD＝∠AFE＝90°，
∵AE＝5，AF＝3，
∴EF
¿❑
√
A E2−A F2=¿
4，
设DF＝x，
∵DE2 AE2﹣＝AD2＝AF2+DF2，
∴（4+x）2 52﹣＝32+x2，
解得 x
¿9
4
，
∴DF
¿9
4
，
∴DE
¿25
4
，
∴AD
，
∵BD 所在的直线垂直平分线段 AC，
∴AD＝CD
¿15
4
，
∴CF
¿15
4−9
4=3
2
．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线
段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2．（2022 秋•铁西区期末）如图 1，点 A、B分别在射线 OM、ON 上运动（不与点 O重合），AC、BC 分
别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，BC 延长线交 OM 于点 G．
（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝　 60 　 度；
（2）若∠MON＝n°，则∠ACG＝　（ 90
−n
2
）　度；（用含 n的代数式表示）
（3）如图 2，若∠MON＝72°，过点 C作CF∥OA 交AB 于点 F，求∠BGO 与∠ACF 的数量关系．
【分析】（1）先由∠MON＝60°求得∠ABO+ BAO∠＝120°，然后由 AC、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的
角平分线求得∠CAB+ CBA∠＝60°，最后结合三角形的外角性质求得∠ACG 的度数；
（2）根据（1）中的过程，用含有 n的式子表示即可得到结果；
（3）先由 CF OA∥得到∠ACF＝∠CAG，然后由∠BGO 是△ACG 的外角得到∠BGO ACF﹣∠ ＝∠BGO﹣
CAG∠＝∠ACG，再由（2）得∠ACG＝90°
−1
2×
72°＝54°，最后得到∠BGO 和∠ACF 的数量关系．
【详解】解：（1）∵∠MON＝60°，
∴∠ABO+ BAO∠＝180° 60°﹣＝120°，
∵AC、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，
∴∠ABC+ BAC∠
¿1
2
（∠ABO+ BAO∠）＝60°，
∵∠ACG 是△ABC 的外角，
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