《2023学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）》专题2.5 等边三角形【十大题型】（举一反三）（浙教版）（解析版）

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专题 2.5 等边三角形【十大题型】
【浙教版】
【题型 1 与等边三角形有关的角度的计算】....................................................................................................... 1
【题型 2 共顶点的等边三角形（手拉手图形）】................................................................................................ 5
【题型 3 平面直角坐标系中的等边三角形】..................................................................................................... 11
【题型 4 与等边三角形有关的线段长度的计算】.............................................................................................. 17
【题型 5 等边三角形的证明】............................................................................................................................. 21
【题型 6 与等边三角形有关的规律问题】......................................................................................................... 26
【题型 7 利用等边三角形的性质进行证明】..................................................................................................... 30
【题型 8 与等边三角形有关的动点问题】......................................................................................................... 36
【题型 9 含30°角的直角三角形性质】............................................................................................................... 41
【题型 10 直角三角形斜边的中线】................................................................................................................... 45
【知识点 1 等边三角形】
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于 60°.　　
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【题型 1 与等边三角形有关的角度的计算】
【例 1】（2022 秋•泰兴市期末）（1）如图 1，∠AOB 和∠COD 都是直角
①若∠BOC＝60°，则∠BOD＝　 30 　 °，∠AOC＝　 30 　 °；
②改变∠BOC 的大小，则∠BOD 与∠AOC 相等吗？为什么？
（2）如图 2，∠AOB＝∠COD＝80°，若∠AOD＝∠BOC+40°，求∠AOC 的度数；
（3）如图 3，将三个相同的等边三角形（三个内角都是 60°）的一个顶点重合放置，若∠BAE＝
10°，∠HAF＝30°，则∠1＝　 20 　 °．
【分析】（1）根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据角的和差即可得到结果；
（3）根据等边三角形的性质得到∠DAH＝∠EAF＝∠BAC＝60°，根据角的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠AOB 和∠COD 都是直角，∠BOC＝60°，
∴∠BOD＝30°，∠AOC＝30°，
故答案为：30，30；
（2）∵∠AOB＝∠COD＝80°，
∴∠AOC＝∠BOD
¿1
2
（∠AOD﹣∠BOC），
∵∠AOD＝∠BOC+40°，
∴∠AOC＝20°；
（3）∵∠DAH＝∠EAF＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝∠HAF＝30°，
∴∠1＝60° 30° 10°﹣ ﹣ ＝20°．
故答案为：20．
【变式 1-1】（2022 秋•巫溪县校级月考）已知：如图，△ABC 是等边三角形，D是BC 延长线上的点，
BE、CE 分别平分∠ABC 和∠ACD，求∠BEC 的度数．
【分析】△ABC 是等边三角形的外角是 120°，平分后是 60°，又由角平分线与角的对边垂直可知所求角
是直角三角形内的一个锐角，故而可解得．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，且有 BE、CE 分别平分∠ABC 和∠ACD，AC⊥BE，
∴∠ECD＝（180° 60°﹣ ）÷2＝120°÷2＝60°，
∴∠ACE＝60°，
又∵AC⊥BE，
∴∠BEC＝180° 90° 60°﹣ ﹣ ＝30°．
【变式 1-2】（2022 秋•太原期末）问题情境：如图 1，点 D是△ABC 外的一点，点 E在BC 边的延长线上，
BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
（1）特例探究：
如图 2，若△ABC 是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝　 30° 　 ；
如图 3，若△ABC 是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝　 50° 　 ；这两个图中，
∠D与∠A度数的比是　 1 ： 2 　 ；
（2）猜想证明：
如图 1，△ABC 为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图 1证明
你的结论；若不成立，说明理由．
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根
据角平分线的定义得到∠ACE＝2∠DCE，∠ABC＝2∠DBC，然后整理即可．
（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根据角平分
线的定义得到∠ACE＝2∠DCE，∠ABC＝2∠DBC，然后整理即可．
【解答】解：（1）如图 2，∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，∠ACE＝120°，
∵BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACE．
∴∠DBC＝30°，∠DCE＝60°，
∵∠DCE＝∠D+∠DBC，
∴∠D＝30°；
如图 3，∵△ABC 是等腰三角形，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∠ACE＝140°，
∵BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACE．
∴∠DBC＝20°，∠DCE＝70°，
∵∠DCE＝∠D+∠DBC，
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