《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项13 与尺规作图有关的计算和证明的综合应用（解析卷）

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专项 13 与尺规作图有关的计算和证明的综合应用

垂直平分线作图步骤：

1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；

2. 作直线 CD，CD 为所求直线

垂直平分线的性质：

【典例 1】（2021 秋•邓州市期末）在△AMN 中，∠MAN＞90°，AM 的垂直平分线交 MN

于B，交 AM 于E，AN 的垂直平分线交 MN 于C，交 AN 于F．

（1）若 AM＝AN，∠MAN＝120°，则△ABC 的形状是　；

（2）去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的条件，其他不变，判断△ABC 的形状，并证明

你的结论；

（3）当∠M与∠N满足怎样的数量关系时，△ABC 是等腰三角形？直接写出所有可能

的情况．

垂直平分线上的点到两边的距离相等

【解答】解：（1）等边三角形，

理由：∵AM＝AN，∠MAN＝120°，

∴∠M＝∠N＝30°，

∵BE 是线段 AM 的垂直平分线，

∴AB＝BM，

∴∠MAB＝∠M＝30°，

∴∠ABC＝∠M+∠MAB＝60°，

同理，CA＝NC，

∴∠NAC＝∠N＝30°，

∴∠ACM＝∠N+∠NAC＝60°，

∴△ABC 为等边三角形，

故答案为：等边三角形；

（2）△ABC 是等腰三角形，

理由：∵AM＝AN，

∴∠M＝∠N，

∵∠MAB＝∠M，∠ABC＝∠M+∠MAB，∠NAC＝∠N，∠ACB＝∠N+∠NAC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC，

∴△ABC 是等腰三角形；

（3）当∠M＝∠N时，AB＝AC；

当2∠M+∠N＝90°时，∠BAN＝90°，

∴CF∥BN，

∵CF 垂直平分 AN，

∴AF＝FN，

∴CN＝BC，

∴CA＝NB＝BC，

同理，当∠M+2∠N＝90°时，BA＝BC，

综上所述，当∠M＝∠N、2∠M+∠N＝90°、∠M+2∠N＝90°时，△ABC 是等腰三角形．

②当点 P与点 M重合时，PB+CP 的值最小，最小值是 8cm．

【变式 1-1】（秋•密云区期末）已知如图，点 A、点 B在直线 l异侧，以点 A为圆心，AB

长为半径作弧交直线 l于C、D两点．分别以 C、D为圆心，AB 长为半径作弧，两弧在 l

下方交于点 E，连接 AE．

（1）根据题意，利用直尺和圆规补全图形；

（2）证明：l垂直平分 AE．

【答案】略

【解答】解：（1）如图所示：

（2）证明：解法一：如下图：连接 AC，CE，ED，AD，

∵AC＝AD＝AB，CE＝ED＝AB，

∴AC＝CE，AD＝DE，

在△ACD 和△ECD 中

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