东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2025届高三下学期3月二模试题 数学 PDF版含答案

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数学试卷 第1页 （共 3页）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如
需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答
题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题共 58 分）
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求.
1.已知集合
{ | 1 0}A x x= − 
，
2
{ Z| 4}B x x= 
，则
AB=
（ ）
A.
{ 2, 1,0,1,2}−−
B.
{ 2, 1,0,2}−−
C.
{ 2, 1,0}−−
D.
{ 1,0,2}−
2.若
，则（ ）
A.
0zz+=
B.
0zz−=
C.
1zz = −
D.
zi
z=
3.已知直线
2 1 0xy− + =
与圆
2 2 2
( 2) ( 1)x y a− + + =
相切，则正实数
a
的值为( )
A.
5
B.
35
5
C.
25
5
D.
5
5
4.某同学测得连续 7天的最低气温（均为整数）分别为
6,1, 2, ,2,1,5t−−
（单位：
℃
），若这组数据的平
均数与中位数相等，则
t=
( )
A. 5 B.6 C.10 D.11
5.已知向量
,ab
满足
(1,0),| | |2 |= = −a b a b
，则下列结论一定成立的是（ ）
A.
( 2 ) 1− = −a b a
B.
( 2 ) 1−  =a b a
C.
( 2 ) 1−  =a b b
D.
( 2 ) 1− = −a b b
6.已知函数
| 1 |
() xm
f x e +−
=
满足
(1 ) ( 1)f x f x− = −
，则（ ）
A.
()fx
()fm
B.
( 1) ( )f x f m−
C.函数
()f x x−
有1个零点 D.函数
()f x m−
有1个零点
7.已知数列
 
n
a
满足
11
3, 4 1 4
n n n
a a a a
+
= = + + +
，则
n
a=
（ ）
A.
21
n
an=+
B.
2
n
an=
C.
2
41
n
an=−
D.
41
n
an=+
8.已知函数
2, 0,
() ln , 0,
x x x
fx x x x
−
=
1 2 1 2
, , ,x x R x x若
则（ ）
A.
1 2 1 2
( ) ( )
()
22
x x f x f x
f++
B.当
12
1
2
xx
时，
1 2 1 2
( )[ ( ) ( )] 0x x f x f x− − 
C.当
12
( ) ( )f x f x=
时，
12
1xx+
D.当
1 1 2 2
( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0f x f x f x f x− + = − + =
时，
12
0xx
二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求,全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.下列说法中正确的是（ ）
A.数据 1，2，5，7，8，9，11，15 的上四分位数是 10
B.设样本数据
12
, , , n
x x x
的方差为 5，则
12
2 ,2 , ,2 n
x m x m x m+ + +
的标准差为 20
C.随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有 1～6共六个数字，记事件
A
＝“骰子
向上的点数是奇数”，事件
B
＝“骰子向上的点数是 2或 3”，则事件
A
与事件
B
是相互独立事件
D.在二项式
1
()
2
n
xx
−
的展开式中, 若只有第 4项的二项式系数最大，则各项系数和是 64
10. 已知函数
( ) 2sin cos ,f x x x= − +
00
( , ), ( ) ( )x f x f x

 − 若 且
，则下列说法正确的是（ ）
A.函数
0
()f x x−
为偶函数 B.函数
0
()f x x+
为偶函数
哈 尔 滨 师 大 附 中
东北师大附中
辽 宁 省 实验中学
2025 年高三第二次联合模拟考试
数 学
{#{QQABRYAowgg4kBaACI5LA0mkCEgQkJEiLWosRQCeqAwjgBFABAA=}#}
数学试卷 第2页 （共 3页）
C.
0
( ) ( )f x f x
−
D.区间
0
(0, )x
+
上
()fx
单调递减
11.如图，四棱锥
S ABCD−
的外接球球心为点
O
,且底面
ABCD
为正方形,
SA ⊥
平面
ABCD
，
3, 2 3AB SC==
.若点
M
为
SD
上靠近点
D
的三等分点，点
,PQ
分别为线段
SC
与平面
SAB
上的
点，则
PM PQ+
最小时，下列说法正确的是（ ）
A.
OM SC⊥
B.点
P
为线段
SC
的中点
C.平面
MPQ
截四棱锥
S ABCD−
所得的截面是直角梯形
D.三棱锥
S AMQ−
的体积为
6
3
第Ⅱ卷（非选择题共 92 分）
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12.
( )( )
5
1 1 2++xx
的展开式中
3
x
的系数为_________.（用数字作答）
13.已知双曲线
( )
22
22
1 0, 0
xy ab
ab
− =
的左、右焦点分别为
21,FF
，过
2
F
且斜率为
3
的直线
l
交双
曲线右支于点
A
（在第一象限），
12
AF F
的内心为
I
，直线
AI
交
x
轴于点
P
，且
|AI| 2|IP|=
，则双
曲线的离心率为_________.
14.图1所示几何体是一个星形正多面体,称为星形十二面体,是由 6对(12 个)平行五角星面组成的,每
对平行五角星面角度关系如图 2所示.一个星形十二面体有_________个星芒(凸起的正五棱锥),将所有
的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是_________.
(参考数据:
225
tan 18 1 5
 = −
)
图1 图2
四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（满分 13 分）已知函数
4
( ) ln ( )f x a x x a a R= − +
．
（1）当
2a=
时，求曲线
()y f x=
在点
(1, (1))f
处的切线方程；
（2）若
()fx
有极大值，且极大值大于
0
，求实数
a
的取值范围.
16.（满分 15 分）已知锐角
ABC
，角
CBA ,,
所对的边分别为
cba ,,
，且
3=a
，
cbB =+ 2
1
cos3
.
（1）求
A
；
（2）求
bc
cb 22
2+
的取值范围.
17.（满分 15 分）如图，四棱锥
P ABCD−
的体积为
4
3
，底面
ABCD
为平行四边形，
PA ⊥
底面
ABCD
，
PBC
的面积为
2
．
（1）求点
A
到平面
PBC
的距离；
（2）设
AP AB=
，二面角
A PB C−−
为
90
，求直线
PD
与平面
PBC
所成角的正弦值.
S
A
D
B
C
M
A
P
D
C
B
{#{QQABRYAowgg4kBaACI5LA0mkCEgQkJEiLWosRQCeqAwjgBFABAA=}#}
数学试卷 第3页 （共 3页）
18.（满分 17 分）某地区冬季流感频发，为了加强流感疾病的防治，该地区鼓励个人接种流感疫苗，最
后统计表明，该地区整个冬季的流感患病率是
52.28%
，至冬季结束仍然有
95%
的居民未接种疫苗，这
些没有接种过流感疫苗的居民的患病率为
55%
.
（1）现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，求这人患病的概率；
（2）已知泊松分布的概率分布列为
( ) ( 0,1,2, )
!
k
P X k e k
k
−
= = =
，其中
e
为自然对数的底数，
是泊松
分布的均值．若随机变量
X
服从二项分布，当
100n
且
0.01p
时，二项分布近似于泊松分布，其中
np
=
，即
()
( , ), ( ) ( )
!
np i
e np
X B n p P X i i N
i
−
= =
.现从该地区接种疫苗的人群中随机抽取 1000 人，
按上述泊松分布近似计算：
①求 1000 人中流感的患病率小于
0.3%
的概率约为多少；
②设 1000 人中患流感的人数为
X
,求使得
()P X i=
最大时的
X
值.
（参考数据：
60.0025e−
）
19.（满分 17 分）已知抛物线
2
:4C y x=
，焦点为
0
F
. 抛物线上有一点
1 1 1 1 1
( , )( 1, 0)P x y x y
，直线
01
FP
与抛物线的另一个交点为
0
P
. 按照如下方式依次构造点
21k
F−
，
2k
P
，
21k
P+
，
2k
F
( 1,2,3, )k=
，过
21k
P−
作
x
轴的垂线，垂足为
21k
F−
，垂线与抛物线
C
的另一个交点为
2k
P
. 作直线
2 2 2 1kk
PF
−−
，与抛物线
C
的另一
个交点为
21k
P+
，直线
2 2 1kk
PP+
与
x
轴的交点为
2k
F
. 记
( , )
n n n
P x y
，
( ,0)
nn
Fm
，
1
mm=
，
( 0,1,2, )n=
.
（1）若
1(2,2 2)P
，求
0
m
，
1
m
，
2
m
，
3
m
；
（2）求证：数列
{}
n
m
是等比数列，并用
m
表示数列
{}
n
m
的通项公式；
（3）对任意的正整数
k
，
2 2 2 1 2 1k k k
P P F
− − −
与
2 1 2 2 1k k k
F P P
−+
的面积之比是否为定值？若是，请用
m
表示这个
定值；若不是，请说明理由.
{#{QQABRYAowgg4kBaACI5LA0mkCEgQkJEiLWosRQCeqAwjgBFABAA=}#}
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