福建省三明一中2020届高三下学期模拟卷4数学（文）试题答案

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数学（文科）试题 第1页（共7页）
三明一中高三数学（文科）模拟试卷4参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 D A C A B C D B C D B C
12：【简解】依题意
2
124
n n n
a a a
+= + −
可化为
22
1
( 2) ( 2) 4
nn
aa
+− + − =
，令
2
( 2)
nn
ba=−
，
则
14
nn
bb
++=
，∴
21
4
nn
bb
++
+=
，于是
2nn
bb
+=
，∴
22
1 1 2020 2 2
( 2) , ( 2)b a b b a= − = = −
∴
1 2020 1 2 4b b b b+ = + =
，即
22
1 2020
( 2) ( 2) 4aa− + − =
法一：
（当且仅当
4
=
时等号成立）
法二：∵
22
22
x y x y++
，
∴
22
1 2020
1 2020 1 2020
( 2) ( 2)
( 2) ( 2) 4 2 4 4 2 2
2
aa
a a a a − + −
+ = − + − +  + = +
（当且仅当
1 2020 22aa= = +
时等号成立）
法三：
22
1 2020
( 2) ( 2) 4aa− + − =
，即
1 2020
( , )aa
在
22
( 2) ( 2) 4xy− + − =
上，
令
z x y=+
，即
0x y z+ − =
，∴
| 4| 2
2
z
d−
=
，∴
| 4| 2 2z−
，
∴
4 2 2 4 2 2z−  +
，∴
max 4 2 2z=+
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．
eeyx=−
； 14．
3−
； 15．
3
； 16．
33
2
c+
=
．
16.【简解】因为
2 2 2
2 2 2 2 2 3
3 3 0 3 0 22
+−
− − + =  − − + =  =
a c b
c b c c b ac a ac
，
所以
3
cos 2
=B
，又
(0 ,180 )B 
，所以
30B=
．
（1）
36
sin30 sin45 2
bb=  =

．
检验：
632
2sin
sin sin sin30 sin 2
ba A
B A A
=  =  =
，又
(0 ,180 )A 
，且
ab
，
数学（文科）试题 第2页（共7页）
所以
45A=
或者
135A=
，这与已知角
A
的解为唯一解矛盾．
（2）
30B=
，又
45A=
，所以
105C=
，
3 3 3
sin105 sin45 2
cc+
=  =

．
检验：
33 32
2sin
sin sin sin75 sin 2
ca A
C A A
+
=  =  =
，
又
(0 ,180 )A 
，且
ca
，∴
45A=
．故应填的条件是：
33
2
+
=c
．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
解：（1）由已知得，
1 2 2 1
a b b b+=
，所以
11a=
．
又因为
 
n
a
是公差为
1
的等差数列，所以
nan=
．
所以
1
( 1) nn
n b nb
+
+=
，所以数列
 
n
nb
是常数数列，
所以
11
n
nb b==
，所以
1
n
bn
=
．………………6分
（2）由已知得,
1 1 1
( 1) 1
n
cn n n n
= = −
++
，
所以
1 1 1 1 1
(1 ) ( ) ( )
2 2 3 1
n
Snn
= − + − + + − +
，
所以
1
111
n
n
Snn
= − =
++
．………………12 分
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）法一：取
CD
的中点
N
，连结
1,MN D N EN,
.
因为
E
,
F
,
M
,
N
分别是棱
AB
,
BC
,
AD
,
CD
的中点，
所以
//MN EF
，又因为
MN
平面
1
A EF
，
EF
平面
1
A EF
，所以
//MN
平面
1
A EF
.
又因为
11
//A D EN
，所以四边形
11
AD NE
是平行四边形，
所以
11
//AE D N
，所以
1//DN
平面
1
A EF
.
又
1
D N MN N=
，所以平面
1//D MN
平面
1
A EF
，
又
1
DM
平面
1
D MN
，所以
1//DM
平面
1
A EF
……………6分
法二：连接
11
AC
,
1
CF
,
AC
,
MF
，所以
11
//AC AC
，
因为
E
,
F
分别是棱
AB
,
BC
的中点，所以
1
// 2
EF AC
，
数学（文科）试题 第3页（共7页）
所以
11
1
// 2
EF AC
，所以
11
, , ,A E F C
共面．
因为
F
,
M
分别是棱
BC
,
AD
的中点，所以
11
// //MF DC DC
，
所以四边形
11
DC FM
是平行四边形，所以
11
//D M C F
，
又因为
1
DM
面
1
A EF
，
1
CF
平面
1
A EF
，所以
1//DM
平面
1
A EF
.………6分
（2） 因为
1//DM
平面
1
A EF
，所以点
1
D
到平面
1
AEF
的距离可以转化为点
M
到平面
1
A EF
的距离．
由已知可得
12 1 1
2
MEF
S=  =
,所以
11
1 1 2
12
3 3 3
A MEF MEF
V S AA
−
= =   =
,
又
22
1 1 1
5, 2, 4 5 3A E EF A F AA AF= = = + = + =
，
所以
15 2 9 10
cos 10
2 5 2
A EF +−
= = −

，可知
13 10
sin 10
A EF=
，
所以
111
1 1 3 10 3
sin 5 2
2 2 10 2
A EF
S A E EF A EF
=  =  =
又因为
11
A MEF M A EF
VV
−−
=
，所以点
M
到平面
1
A EF
的距离为
4
3
．
所以点
1
D
到平面
1
A EF
的距离为
4
3
．……………………………………………12 分
19．（本小题满分 12 分）
解：（1）由表格中数据可得，
3.5x=
，
16y=
．
∵
( )
( )
1
2
2
11
()
()
n
ii
i
nn
ii
ii
x x y y
rx x y y
=
==
−−
=
−−

37 37 0.98
17.5 82 1435
= = 
．……2分
∴
y
与月份代码
x
之间高度正相关，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．
( )
1
2
1
()
37 74 2.114
ˆ17.5 35
()
n
ii
in
i
i
x x y y
bxx
=
=
−−
= = = 
−
，
∴
ˆ
ˆ16 2.114 3.5 8.601a y bx= − = −
，
∴关于
x
的线性回归方程为
ˆ2.11 8.60yx=+
．………………………………6分
（2）这 100 辆
A
款单车平均每辆的利润为
摘要：

数学（文科）试题第1页（共7页）三明一中高三数学（文科）模拟试卷4参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112选项DACABCDBCDBC12：【简解】依题意可化为，令，则，∴，于是，∴∴，即法一：（当且仅当时等号成立）法二：∵，∴（当且仅当时等号成立）法三：，即在上，令，即，∴，∴，∴，∴二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．；14．；15．；16．．16.【简解】因为，所以，又，所以．（1）．检验：，又，且，2124nnnaaa+=+−221(2)(2)4nnaa+−+...

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