福建省仙游一中2020-2021学年高一12月竞赛数学试题答案

3.0 cande 2024-08-27 5 4 490.51KB 8 页 3知币
侵权投诉
仙游一中 2020 年12 月高一数学竞赛试卷解析 第 页 共 8页
1
2020年12月仙游一中高一数学竞赛试卷
一、填空题（共 10 小题，每小题 8 分，满分 80 分。请直接将答案写在题中的横线上）
1.已知集合
M
满足条件：
 
1, 2,3, ,512 1, 2,3, , 2013M  
，则符合条件的集合
M
共有
个。
【答案】
1501
2
2.函数
2 2
8 14 48y x x x x  
的最大值是 ．
【答案】
2 3
．
【解答】
 
(8 ) ( 6)(8 ) 8 6y x x x x x x x  
6 8
6
x
x x
 
，
其定义域为
，当
6x
时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为
2 3
．
3．设实数
3 5 7
1 1 1
log log log
x
 
  
，则
 
x
________.（这里
 
x
表示不超过
x
的最大整数.）
【 答案】4
【解答】
log 3 log 5 log 7 log 105x
  
  
，
105
x
 
，由
4105
，
5105
，所有
 
4x
.
4．已知函数
25 4
x x
y a a 
（
0a
，且
1a
）在区间
 
1 1，
上的最小值为
5
4
，则
25 4
x x
y a a 
在区间
 
1 1，
上的最大值为 。
【答案】 10
【解答】设
x
t a
，则
2 2
5 41
5 4 ( )
2 4
x x
y a a t  
在
5
2
 
 
 
，
上为增函数。
0 1a 
时，
1
t a a
 
 
 
，
，
2
5 41
( )
2 4
y t 
在
1
aa
 
 
 
，
上为增函数。
∴
2
min
5 41 5
( )
2 4 4
y a  
，
1
2
a
。
2
max
5 41
(2 ) 10
2 4
y 
。
1a
时，
1
t a
a
 
 
 
，
，
2
5 41
( )
2 4
y t 
在
1a
a
 
 
 
，
上为增函数。
∴
2
min
1 5 41 5
( )
2 4 4
ya
 
，
2a
。
2
max
5 41
(2 ) 10
2 4
y 
。
5．已知
( )f x
为
R
上增函数，且对任意
x R
，都有
( ) 3 4
x
f f x
 
 
 
，则
(2)f
。
【 答案】 10
【解答】依题意，
( ) 3x
f x
为常数。设
( ) 3x
f x m 
，则
( ) 4f m
，
( ) 3x
f x m 
。
仙游一中 2020 年12 月高一数学竞赛试卷解析 第 页 共 8页
2
∴
3 4
mm 
，
3 4 0
mm  
。易知方程
3 4 0
mm  
有唯一解
1m
。
∴
( ) 3 1
x
f x  
，
2
(2) 3 1 10f  
。
6． 已 知 实 数
x
，
y
满 足
1 4xy x y 
， 且
1x
， 则
( 1)( 2)x y 
的 最 小 值
为 。
【答案】
27
【解答】由
1 4xy x y 
知，
4 1
1
x
yx
。
∴
4 1 3( 1)(2 1)
( 1)( 2) ( 1)( 2)
1 1
x x x
x y x x x
 
    
 
。
设
1x t 
，则
0t
，
3( 1)(2 1) 3( 2)(2 1) 1
( 1)( 2) 6( ) 15 27
1
x x t t
x y t
x t t
   
 
。
当且仅当
1
tt
，即
1t
，
2x
，
7y
时等号成立。
∴
( 1)( 2)x y 
的最小值为 27。
7.实数
1 2 10
, , ,x x x
满足
10 10
1 1
1 4, 2 6,
i i
i i
x x
 
 
 
，则
1 2 10
, , ,x x x
的平均值
x
=__________
【答案】
10
1
1 7
1 ( 1)
10 5
i
i
x
 
【解答】
10 10 10
1 1 1
10 [( 1) ( 2)] 1 2 10
i i i
x x x x
 
 
 
所以有
10 10
1 1
1 4, 2 6 1 2
i i i
i i
x x x
 
 
 
，故
x
=
10
1
1 7
1 ( 1)
10 5
i
i
x
 
8.
1 1 1 1
3 5 7 99
S   
的整数部分是__________
【答案】
1 1 1 1
[ ] 8
3 5 7 99
 
【解答】：
1 1 1
2 3 2 1 2 2 1 2 1 2 1k k k k k
 
   
，
即
2 3 2 1
2
k k 
1 2 1 2 1
2
2 2 1
k k
k
 
.
取
1, 2, ,49k
，得 49 个式子，并相加，得
101 3 
1 1 1 1 99 1
3 5 7 99
 
.
显然
1 1 1 1
3 5 7 99
 
在8与9之间，故
1 1 1 1
[ ] 8
3 5 7 99
 
9.一个正整数若能写成
20 8 27a b c 
（
, ,abc
为非负整数）形式，则称它为“好数”，则集合
 
1, 2, , 200
中好数的个数为 __________ ．
【答案】153
【解答】将
 
1, 2, , 200
中的数按除以 8的余数分类，不妨记
 
 
 
mod8i x x i 
，则可分为
仙游一中 2020 年12 月高一数学竞赛试卷解析 第 页 共 8页
3
   
0 , 1 , 2 , 7
八类，其中 20
 
4
，27
 
3
，则
 
0
中最小的数为 8，因为
8 20 0 8 1 27 0  
，
最大的数是 200，因为
200 20 0 8 25 27 0  
（还有其他不同的
, ,abc
满足要求），共 25 个；
 
1
中 最 小 的 数 为 81 ， 因 为
81 20 0 8 0 27 4    
， 最 大 的 数 是 193 ， 因 为
193 20 0 8 14 27 4  
，共 15 个；……依次类推，可列表如下：
故共有：25+15+16+22+23+13+19+20=153 个．
10．已知函数
*
( ) 1
x x
f x q q
x p q N p q p q
p p
 
，若 为无理数
，若 ，其中 ， ，且 、互质，
，则函数
( )f x
在
区间
7 8
( )
8 9
，
上的最大值为 。
【答案】
16
17
【解答】若
x
为有理数，且
7 8
( )
8 9
x，
。设
7 8
( )
8 9
a
xa
 
，
（
a
，
*
N
），
由
7 8
8 9
a
a
 
知，
9 8 8
7 7 8
a a
a a
 
 
，
7 8a
 
 
。
当
1
时，
a
不存在；
当
2
时，存在唯一的
15a
，此时
15
17
x
，
16
( ) 17
f x
。
当
3
时，设
7a m
 
，其中
1 1m
 
，且
*
m N
，此时
7 1
( ) 8
m
f x m
 
。
∵
16 7 1 9 17 ( ) (8 17) 0
17 8 17(8 ) 17(8 )
m m m
m m m
 
 
   
 
 
，
∴ 若
x
为有理数，则
15
17
x
时，
( )f x
取最大值
16
17
。
又
x
为无理数，且
7 8
( )
8 9
x，
时，
8 16
( ) 9 17
f x x 
。
综合以上可知，
( )f x
在区间
7 8
( )
8 9
，
上的最大值为
16
17
。
二、解答题（本大题满分 70 分，第 11 题 20 分，第 12 题 20 分，第 13 题 30 分）
11.已知函数
 
22
ln 2 4 1 2 1
x
f x x x  
.
（Ⅰ）若
 
f x
在区间
 
,k k
，
0k
上的值域为
 
,m n
，求
m n
的值；
余数
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
最小开始数
8
81
74
27
20
101
54
47
最大数
200
193
194
195
196
197
198
199
个数
25
15
16
22
23
13
19
20
摘要：

仙游一中2020年12月高一数学竞赛试卷解析第页共8页12020年12月仙游一中高一数学竞赛试卷一、填空题（共10小题，每小题8分，满分80分。请直接将答案写在题中的横线上）1.已知集合M满足条件：1,2,3,,5121,2,3,,2013M，则符合条件的集合M共有个。【答案】150122.函数2281448yxxxx的最大值是．【答案】23．【解答】(8)(6)(8)86yxxxxxxx686xxx，其定义域为68x，当6x时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为23．3．设实数357111loglogl...

展开>> 收起<<
福建省仙游一中2020-2021学年高一12月竞赛数学试题答案.pdf

共8页,预览3页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：cande 分类：分省 价格：3知币 属性：8 页 大小：490.51KB 格式：PDF 时间：2024-08-27

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 8
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注