甘肃省岷县第一中学2021届高三第二次模拟考试数学试卷含答案

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岷县一中高三模拟考试（二）

数学试卷

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟．

第Ⅰ卷　选择题(共45 分)

参考公式：

　·如果事件 A，B互斥，那么 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

　·如果事件 A，B相互独立，那么 P(AB)＝P(A)·P(B)．

　·柱体的体积公式 V＝Sh，其中 S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高．

　·锥体的体积公式 V＝Sh，其中 S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高．

一、选择题(本大题共 9小题，每小题 5分，共 45 分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．)

1．设集合 A＝{－1，0，1}，B＝{－1，2，3}，C＝{x∈R|－1≤x<1}，则(A∪B)∩C＝(

)

A．{－1} B．{－1，0}

C．{－1，1} D．{－1，0，1}

2．

3．已知 i为虚数单位，若复数 z＝(a∈R)的实部为－1，则|z|＝(　　)

A. B. C. D.

4．函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，且当 x≥0时，f(x)＝2x＋x＋a(a 为常数)，则 f(a)＝(

)

A. B. C．－ D．－2

5．若 sin＝，θ∈(0，π)，则 cos＝(　　)

A．0 B. C．1 D.

6．设等差数列{an}的前 n项和为 Sn, 若S3＝9，S10＝100, 则a7＝(　　)

A．11 B．13 C．15 D．17

7．已知 a＝log30.3，b＝log0.32，c＝30.2，则 a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b

8．若函数 f(x)＝cos(2x＋φ)(0<φ<π)在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则 φ的取

值范围是(　　)

A. B.

C. D.

9．已知函数 f(x)＝函数 g(x)＝kx.若关于 x的方程 f(x)－g(x)＝0有3个互异的实数根，则

实数 k的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

第Ⅱ卷　非选择题(共105 分)

二、填空题(本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分．把答案填在相应的横线上．)

10．双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F(5，0)，且一条渐近线方程是 y＝x，则该双曲

线的方程是________．

11．若的展开式中的常数项为－160，则实数 a＝________．

12．已知点 P(x，y)在直线 x＋2y－3＝0上，则 2x＋4y 的最小值为________．

13．在△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c.若asinC－ccos＝0，则 cosA

＝________．

14．如图，点 O是长方体 ABCD－A1B1C1D1 的中心，E，F，G，H分别为其所在棱的

中点，且 BC ＝BB1. 记棱 AB 的长度为 l，点 O到平面 BCC1B1 的距离为 l0 ，则 l＝

________l0；若该长方体的体积为 120，则四棱锥 O－EFGH 的体积为________．

15．在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，若点 M在线段

BD 上，则AM·CM的最小值为________．

三、解答题(本大题共 5小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

16．(本小题满分 14 分)天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，

促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱学科成立特色学

科“兴趣学习小组”(每位学生只能参加一个小组)，以便课间学生进行相互帮扶．已知该校

某班的语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为 10 人、10 人、15 人．经过一段时间

的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步．现采用分层抽样的方法从该班的语

文、数学、英语三个兴趣小组中抽取 7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查．

(1)应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？

(2)若抽取的 7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格．现从这

7人中随机抽取 4人做进一步的调查．

①记X表示随机抽取的 4人中，语文、数学、英语三科成绩全及格的人数，求随机变量

X的分布列和数学期望；

②设M为事件“抽取的 4人中，有人成绩不全及格”，求事件 M发生的概率．

17．(本小题满分 15 分)已知各项均为正数的数列{an}，满足2Sn＝3(an－1)(n∈N*)．

(1)求证：{an}为等比数列，并写出其通项公式；

(2)设bn＝(2n－1)an(n∈N*)，求数列{bn}的前 n项和 Tn.

18．(本小题满分 15 分)如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面四边形 ABCD 是直角梯形，

PC⊥底面 ABCD，AB∥CD，∠BAD＝90°，AD＝CD＝1，∠ABC＝45°，E为PB 的中点．

(1)求证：BC⊥平面 PAC；

(2)若直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为，求二面角 P－AC－E的余弦值．

19．(本小题满分 15 分)已知 F1、F2 分别是椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，其焦距

为6，过 F1 的直线与C交于A，B两点，且△ABF2 的周长是 12.

(1)求C的方程；

(2)若M(x0，y0)是C上的动点，从点 O(O 是坐标系原点)向圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝6作

两条切线，分别交C于P，Q两点．已知直线 OP，OQ 的斜率存在，并分别记为 k1，k2.

①求证：k1k2 为定值；

②试问|OP|2＋|OQ|2 是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．

20．(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)＝ex(sinx－cosx＋4)，函数 g(x)＝2x－cosx，其中 e

＝2.718 28…是自然对数的底数．

(1)求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)设函数 h(x)＝f(x)－ag(x)(a∈R)，讨论 h(x)的单调性；

(3)若对任意 x∈，恒有关于 x的不等式 cosx－≤0成立，求实数 m的取值范围．

数学答案

1．B　[命题立意]本题考查集合的交集、补集运算．

[解析]∵A∪B＝{－1，0，1，2，3}，∴(A∪B)∩C＝{－1，0}，故选B.

2．C　[命题立意]本题考查特称量词命题的否定．

[解析]∵特称量词命题的否定为全称量词命题，∴命题p的否定是：x∈R，x2＋2x＋

3≥0，故选C.

3．D　[命题立意]本题考查复数的除法运算、复数的模．

[解析]z＝＝＝，∵z的实部为－1，＝－1，∴a＝7，∴z＝＝－1＋3i，∴|z|＝，故选D.

4．D　[命题立意]本题考查函数的奇偶性．

[解析]∵f(x)是定义在 R上的奇函数，∴f(0)＝20＋0＋a＝0，∴a＝－1，∴f(a)＝f(－1)＝

－f(1)＝－(21＋1－1)＝－2，故选D.

5．A　[命题立意]本题考查已知三角函数值求角、求值．

[解析]∵θ∈(0，π)，∴θ－∈，又∵sin＝，∴θ－＝，∴θ＝，∴cos＝cos＝0，故选A.

6．B　[命题立意]本题考查等差数列的通项公式、前 n项和公式．

[解析]设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d.

则解得

∴a7＝a1＋(7－1)×d＝13，故选B.

7．C　[命题立意]本题考查指数、对数函数的单调性．

[解析]∵a＝log30.3<log3＝－1，b＝log0.32>log0.3＝－1，且 b<0，c＝30.2>1，∴c>b>a.

故选C.

8．D　[命题立意]本题考查余弦型函数的性质．

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摘要：

岷县一中高三模拟考试（二）数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷　选择题(共45分)参考公式：　·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．　·如果事件A，B相互独立，那么P(AB)＝P(A)·P(B)．　·柱体的体积公式V＝Sh，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高．　·锥体的体积公式V＝Sh，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A＝{－1，0...

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