江苏省滨海中学2021届高三上学期八省大联考模拟考试数学试题 含答案

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江苏省滨海中学 2020 至2021 学年高三年级八省大联考模
拟考试
数 学 学 科 试 题
时间：120 分钟 分值：150
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．集合 A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，B＝{x|<2}，则 A∩B＝ (　 　)
A．[0,2] B．[0,1] C．(0,2] D．[－1,0]
2．若复数 z＝(i 表示虚数单位)为纯虚数，则实数 a的值为 (　 　)
A．1 B．0 C．－ D．－1
3．在 的展开式中， 的系数为 ( )
A．2021 B．28 C．-28 D．-56
4．已知 a＝2，b＝log2 ，c＝log
1
2
，则 (　 　)
A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a
5． 据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级．
现有每个级别的诸侯各一人，共五人，要把 80 个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级
就多分 m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“公”恰好分得 30 个橘子的概率是(　 　)
A. B. C. D.
6． 第24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础
进行设计的．如图，会标是由 4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成
的一个大正方形，若小正方形的面积为 4，大正方形的面积为 100，设直角
三角形中较大的锐角为 ，则 (　 　)
A． B． C． D．
7． 已知 F1，F2分别是双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，直线 l为双曲线 C的一条渐近线，
F1关于直线 l的对称点 F′在以 F2为圆心，以半焦距 c为半径的圆上，则双曲线 C的离心率为
(　 　)
A. B. C．2 D．3
8．在三棱锥 ,则这个三棱锥的外接球
的半径为 (　 　)
A. B． C. D．
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分．
9. 在公比 q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前 n项和，若 a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下
列说法正确的是 ( )
A．q＝2 B．数列{lgan}是公差为 2的等差数列
C．数列 的前 项和的最大值为 1 D．数列{Sn＋2}是等比数列
10． 已知 a>b≥2，则下列不等式一定成立的是 (　　)
A．b2<3b－a B．a3＋b3>a2b＋ab2 C．ab>a＋b D.＋>＋
11.下列图象中，函数 的图象可能是 ( )
A B C D
12．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)满足 f(x0)＝f(x0＋1)＝－，且 f(x)在(x0，x0＋1)上有最小值，无最
大值．则下列说法正确的是 (　　)
A．f＝－1 B．若 x0＝0，则 f(x)＝sin
C．f(x)的最小正周期为 3 D．f(x)在(0,303)上的零点个数最少为 202 个
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13. 已知向量 、 满足 ， ，且 ( )，则 =______.
14．已知函数 满足 ，当 时，函数 ，则 ＝　　．
15.已知直线 为圆 的对称轴，则 取得最小值时
的 值为______.
16.对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值为 .
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10 分)
如图，在△ABC 中，C＝，∠ABC 的平分线 BD 交AC 于点 D，且 tan∠CBD＝.
(1)求sin A；
(2)若CA·CB＝28，求 AB 的长．
18．(12 分)
如图，在直角梯形 ABCD 中，AB DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB 的中点，沿
DE 将ADE 折起，使得点 A到点 P位置，且 PE EB，M为PB 的中点，N是BC 上的动点
(与点 B，C不重合)．
(1)证明：平面 EMN 平面 PBC；
(2)是否存在点 N，使得二面角 B EN M 的余弦值为，若存在，确定 N点位置；若不存在，说
明理由．
D
C
A
B
19．由于手机功能的强大，使得手机的使用率越来越高，电池电量问题成为人们的刚需，为了更好
地服务民众，某充电宝租赁公司在其官方 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对充
电宝状况和优惠活动的评价．现从评价系统中选出 条较为详细的评价信息进行统计，充电
宝的优惠活动评价的 列联表如下：
对优惠活动好评对优惠活动不
满意 合计
充电宝状况好评
充电宝状况不满
意
合计
（I）能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为优惠活动好评与充电宝状况好评之间
有关系？
（II）为了回馈用户，公司通过 向用户随机派送每张面额为0 元，1 元，2 元的三种优惠
券．用户每次使用 扫码使用后，都可获得一张优惠券．用户扫码一次获得 1 元券，
获得2 元券的概率分别是 ， ，且各次获取优惠券的结果相互独立．若某用户一天使用
了两次该公司的充电宝，记该用户当天获得的优惠券面额之和为 ，求随机变量 的分
布列和数学期望．
参考数据：
参考公式 ：其中 ．
20．（12 分）
已知数列 的前 项和为 ， ，数列 满足： ，数列 为
等差数列．
（1）求 与 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ．若对于任意 均有 ，求正整数
的值．
21．（12 分）
如图，已知 M（1，2）为抛物线 C：y2＝2px（p＞0）上一点，过点 D（2，﹣2）的直线与抛物线 C
交于 A，B两点（A，B两点异于 M），记直线 AM，BM 的斜率分别为 k1，k2．
（1）求 k1k2的值；
（2）记△AMD，△BMD 的面积分别为 S1，S2，当 k1∈[1，2]，求 的取值范围．
22．（12 分）
已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的单调性；
（2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围．
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