广东省华南师范大学附属中学2025届高三综合测试（一）数学答案
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2025 届高三综合测试（一）数 学 参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
D
D
A
A
C
C
9 10 11
ABC BCD BCD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12. 8． 13. 4051． 14. 10
8．【详解】因为
() e(2 2) ()
x
f x x fx
′= −+
，所以
2
()e e () ()
2 2[ ]
ee
xx
xx
f x fx fx
x
′−′
= −=
，
从而
2
() 2
e
x
fx x xc=−+
，即
2
() e( 2 )
x
fx x x c= −+
，其中
c
为常数，
又
(0) 1
fc= =
，故
2
( ) e ( 2 1)
x
fx x x= −+
，则
2
()( 1)e
x
f xx
′= −
，当
( )
,1
x∈ −∞ −
时，
() 0fx
′>
，
()fx
为增函
数；当
( )
1,1x∈−
时，
() 0fx
′<
，
()fx
为减函数；当
( )
1,x∈ +∞
时，
() 0fx
′>
，
()
fx
为增函数，
所以当
(1) ( 1)f kf<< −
时，即
4
0e
k<<
时，直线
yk=
与
=()yfx
的图像有三个不同的交点，即方程
()
=fx k
有三个不同的解．故选：
C
．
10．【解答】解：因为函数
()fx
的定义域为
R
，且
22
( ) ( ) () ()fx y fx y f x f y+⋅ −= −
，
f
（1）
2
=
，
( 1)y fx= +
为偶函数，
令
0xy= =
，得
(0) 0f=
，再令
0x=
，则
22
() ( ) (0) ()fyf y f f y−= −
，
显然
()fy
不恒为零，所以
( ) ()f y fy−=−
，即
()fx
为奇函数，
B
正确；
所以
( 1) ( 1) ( 1)fx f x fx+= −+=− −
，所以
( 2) ( )fx fx
+=−
，所以
( 4) ( 2) ( )fx fx fx+=− +=
，即
()fx
的周
期为 4，则
f
（3）
( 1)ff= −=−
（1）
2= −
，
A
错误；
(0 2) (0) 0ff+=− =
，
C
正确；
由
A
，
B
，
C
可知，
f
（1）
2=
，
f
（2）
0=
，
f
（3）
2= −
，
f
（4）
(0) 0f= =
，且
()fx
的周期为 4，
所以
2024
1
( ) 506 [
k
fk f
=
= ×
∑
（1）
f+
（2）
f
+
（3）
f+
（4）
]0=
，
D
正确．故选：
BCD
．
11．【解答】解：因为
2
()f x ln x=
，所以
2
() lnx
fx x
′=
，
所以经过
(
i
x
，
( ))( 1
i
fx i=
，
2)
的切线方程为
2
2()
i
ii
i
lnx
y x x ln x
x
= −+
，
由切线过点
(,)Pab
知，
2
2( ) ( 1, 2)
i
ii
i
lnx
b a x ln x i
x
= −+ =
，
{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}
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令
2
2
() 2
alnx
g x ln x lnx b
x
= +−−
，则
()gx
恰有两个零点
1
x
，
2
x
，且
2
2( 1)( )
() lnx x a
gx x
−−
′=
，
当
ae
=
时，
() 0gx′
，则
()gx
在
(0, )+∞
单调递增，不可能有两个零点；
当
ae≠
时，则若
ae>
，当
0xe<<
或
xa>
时
() 0gx′>
，当
exa<<
时
() 0
gx′<
，
则
()gx
在
(0, )e
和
(, )a+∞
上单调递增，在
(, )
ea
上单调递减，
若
0ae<<
，当
0xa<<
或
xe>
时
() 0gx′>
，当
axe
<<
时
() 0gx′<
，
则
()
gx
在
(0, )a
和
(, )e+∞
上单调递增，在
(,)ae
上单调递减，
故
g
（e）
0=
或
g
（a）
0=
时，函数
()gx
才可能有两个零点，
又
g
（a）
20ln a b= −≠
，故
g
（e）
0=
，此时显然有两条切线，
所以
2
() 1 0
a
ge b
e
= −− =
，即
2 ( 1)
a eb= +
，当
1
2
b=
时，
3
4
a ee= <
，故
A
错误，
B
正确；
由上述分析，
1
{ex∈
，
2
}x
，当
ae
>
时，
1
x ea= <
，
()
gx
在
(0, )e
和
(, )a+∞
上单调递增，
在
(, )ea
上单调递减，示意图如图．
显然
1
xa<
，且
22
2 22 2
22
2
( ) 2 2 (1 ) 0
alnx a
f x b ln x b lnx lnx
xx
−= −= − = − >
，
所以
2
()fx b>
，当
0ae<<
时，
2
x ea= >
，
()gx
在
(0, )a
和
(, )e+∞
上单调递增，在
(,)ae
上单调递减，示
意图如图．
显然
2
12
, ( ) () 1x a f x f e ln e<===
，由
2 ( 1)a eb= +
，得
21
a
be
= −
，所以
22
1 11
ae
bee
= −< −=
，即
2
()fx b>
，
综上，
12
()x af x b<>
，故选项
C
和
D
正确．故选：
BCD
．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12．【解答】解：由
a
表示数学课，
b
表示语文课，
c
表示英语课，按上午的第 1、2、3、4、5节课排列，
可得若
A
班排课为
aabbc
，则
B
班排课为
bbcaa
，
若
A
班排课为
bbaac
，则
B
班排课为
aacbb
，
若
A
班排课为
aacbb
，则
B
班排课为
bbaac
，或
B
班排课为
cbbaa
，
若
A
班排课为
bbcaa
，则
B
班排课为
aabbc
，或
B
班排课为
caabb
，
若
A
班排课为
cbbaa
，则
B
班排课为
aacbb
，
若
A
班排课为
caabb
，则
B
班排课为
bbcaa
，
则共有 8种不同的排课方式．故答案为：8．
13．【解答】解：根据题意，因为函数
( 2) 1y fx
= +−
为定义在
R
上的奇函数，
{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}
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所以函数
()fx
的图象关于
(2,1)
中心对称，
则有
( ) (4 ) 2
fx f x+ −=
，且
f
（2）
1
=
，
故
( 2024) [ ( 2023) (2027)] [ ( 2022) (2026)] [
fi f f f f f− = − + + − + +…+
（1）
f+
（3）
]f+
（2）
2025 2 1 4051= ×+=
．故答案为：4051．
14．解：固定每个
{1, 2, ,100}n∈
，考察路灯
n
L
.
根据题意，
n
L
被第
k
名行人改变开关状态，当且仅当
k
为
n
的正约数（注意
n
的正约数都不超过 100，故
每个正约数均可对应到某一名行人）.所以
n
L
最终为开，当且仅当
n
的正约数个数为奇数.以下证明这等价
于
n
为平方数.事实上，
n
的每个正约数
d
均可对应到正约数
n
dd
′=
，其 中 ，
d
对应到自身当且仅当
n
dd
=
，
即
dn=
. 这意味着，
n
的正约数个数为奇数当且仅当
n
是
n
的正约数，即
n
为平方数.
因此，当所有行人都经过后，恰好那些下标为平方数 1，4，9，
，100 的路灯是开着的，所以共有 10 个
路灯处于开着状态.
四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15． 【解答】解 ：（ 1）因为
2 sin 2cB b=
，
由正弦定理可得
2sin sin 2 sin
CB B=
， ··············· 1分
在
ABC
∆
中，
sin 0
B>
， ··············· 2分
可得
2
sin 2
C=
，而
(0, )C
π
∈
， ··············· 3分
可得
4
C
π
=
或
3
4
C
π
=
； ··············· 5分（少一个解扣一分）
（2）因为
tan tan tanABC
= +
，
由恒等式
tan tan tan tan tan tanA B C ABC++ =⋅⋅
，
得
2 tan tan tan tanA ABC=
，得
tan tan 2BC=
， ··············· 7分
所以只可能是
tan 1C=
，
tan 2
B=
， ··············· 8分
此时
tan 3A=
， ··············· 9分
所以
3 10
sin 10
A=
，
25
sin 5
B=
， ··············· 11 分（每求对一个给 1分）
所以
25 2
sin 4 5 10 4 2
5
sin 5 3
3 10 3 10
10
Ba
bA
×
⋅
= = =×=
， ··············· 12 分
所以
1 1 42 2 4
sin 2
2 2 3 23
ABC
S ab C
∆
= = ×× ⋅ =
． ··············· 13 分
（注：分类讨论代入 C，然后消元求解，自行给评分标准即可）
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