2021-2022学年高中数学人教版必修4教案：2.4.1平面向量数量积和物理背景及其含义 3 含解析

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课题 2.4.1 平面向量的数量积的物理背景

教

学

目

标

知识与技能了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力 F的作用下产

生位移 s所做的功．

过程与方法掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义．

情感态度价值观会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量

是否垂直．

重点向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，

难点向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，

教

学

设

计

教学内容教学环节与活动设计

探究点一　平面向量数量积的含义

已知两个非零向量 a与b，我们把数量|a||b|cos θ

叫做 a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b

＝|a||b|cos θ，其中 θ是a与b的夹

角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量

积为 0.

问题 1　如果一个物体在力 F的作用下产生位移 s，那

么力 F所做的功 W＝_________＝___.

问题 2　向量的数量积是一个数量，而不再是向量．

对于两个非零向量 a与b.

当θ∈_________时，a·b>0；

当_________时，a·b＝0，即 a⊥b；

当θ∈_________时，a·b<0.

探究点二　投影

问题 1　我们把|a|cos θ叫做向量 a在b方向上的投影，

|b|cos θ叫做向量 b在a方向上的投影，其中 θ为向

量a与b的夹角．由数量积的定义 a·b＝|a||b|cos θ可

得：

|a|cos θ＝；|b|cos θ＝ .

例如，|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角 θ＝120°，

则a在b方

向上的投影为，b在a方向上的投影为 .

教学内容教学环节与活动设计

探究点三　平面向量数量积的性质

根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．

设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．

(1)当〈a，b〉＝0时，a·b＝；

当〈a，b〉＝π时，a·b＝；

当〈a，b〉＝时，a·b＝；

(2)a·a＝或|a|＝＝；

(3)cos θ＝；

(4)|a·b| |a||b|.

【典型例题】

例1　已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a

与b的夹角为 30°时，分别求 a与b的数量积．

解　(1)a∥b，若 a与b同向，则 θ＝0°，a·b＝|a|·|b|

·cos 0°＝4×5＝20；若 a与b反向，则 θ＝180°，

∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20

(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0.

(3)当a与b的夹角为 30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°

＝4×5×＝10.

跟踪训练 1　已知|a|＝4，|b|＝3，当 (1)a

∥

b；

(2)a⊥b；

(3)a与b的夹角为 60°时，分别求 a与b的数量积．

解　(1)当a∥b时，若 a与b同向，

则a与b的夹角 θ＝0°，

∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12.

若a与b反向，则 a与b的夹角为 θ＝180°，

∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.

(2)当a⊥b时，向量 a与b的夹角为 90°，

∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0.

(3)当a与b的夹角为 60°时，

∴a·b＝|a||b|cos 60°＝4×3×＝6.

教教学内容教学环节与活动设计

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