2021-2022学年高中数学人教版必修4教案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 1 含解析

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2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义

教学目的：

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；

4.掌握向量垂直的条件.

教学重点：平面向量的数量积定义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

教学过程：

一、复习引入：

（1）两个非零向量夹角的概念：

已知非零向量

ａ

与

ｂ

，作

＝

ａ

，

＝

ｂ

，则∠

ＡＯＢ

＝θ（０≤θ≤π）叫

ａ

与

ｂ

的夹

角.

说明：（1）当 θ＝０时，

ａ

与

ｂ

同向；

（2）当 θ＝π时，

ａ

与

ｂ

反向；

（3）当 θ＝



时，

ａ

与

ｂ

垂直，记

ａ

⊥

ｂ

；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围 0≤≤180

（2）两向量共线的判定

（3）练习

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且 a∥b，则 y=（ C ）

A.6 B.5 C.7 D.8

2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则 x的值为（ B ）

A.-3 B.-1 C.1 D.3

（4）力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角.

二、讲解新课：

1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量

ａ

与

ｂ

，它们的夹角是 θ，

则数量|a||b|cos叫

ａ

与

ｂ

的数量积，记作 ab，即有 ab = |a||b|cos，（０≤ θ≤π）.

并规定 0向量与任何向量的数量积为 0.

探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？

2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定.

（2）两个向量的数量积称为内积，写成 ab；今后要学到两个向量的外积 a×b，而 ab是两个

向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能

用“×”代替.

（3）在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 a0，且 ab=0，不能推出

b=0.因为其中 cos有可能为 0.

（4）已知实数 a、b、c(b0)，则 ab=bc



a=c.但是 ab = bc a = c

如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|

 ab = bc 但a  c

(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc)

显然，这是因为左端是与 c共线的向量，而右端是与 a共线的向量，而一般 a与c不共线.

2．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量 b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；

当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；

当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.

3．向量的数量积的几何意义：

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