【精准解析】数学人教A版必修4课时分层作业21平面向量数量积的物理背景及其含义

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课时分层作业(二十一)　
(建议用时：60 分钟)
一、选择题
1．若向量 a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为 60°，则 a·a＋a·b等于(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C．1＋ D．2
B　[a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝.]
2．已知单位向量 a，b的夹角为，那么|a＋2b|＝(　　)
A．2 B.
C．2 D．4
B　[|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2
＝1＋4×1×1×＋4×1＝7，
∴|a＋2b|＝.]
3．若向量 a，b，c，满足 a∥b且a⊥c，则 c·(a＋2b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
D　[∵a∥b，a⊥c，
∴b⊥c，
∴a·c＝0，b·c＝0，
c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.]
4．已知 a
⊥
b，|a|＝2，|b|＝3，且 3a＋2b与λa－b垂直，则 λ等于(　　)
A. B．－
C．± D．1
A　[∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2
＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.∴λ＝.]
5．已知非零向量 a，b满足 2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则 a与b的夹角的余
弦值为(　　)
A. B.
C. D.
C　[|a－2b|＝|a＋b|⇒(a－2b)2＝(a＋b)2⇒a·b＝b2⇒cos〈a，b〉＝＝＝.]
二、填空题
6．已知|a|＝3，|b|＝5，且 a与b的夹角 θ为45°，则向量 a在向量 b上的投影
为________．
　[由已知得向量 a在向量 b上的投影|a|cos θ＝3×＝.]
7．已知向量|a|＝，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝______.
5　[|a|2＝5，|a＋b|＝5，∴|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50，∴5＋|b|2＋20＝
50，∴|b|＝5，故答案为 5.]
8．若 a，b均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则 a，b的夹角为___
_____．
　[由题知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即|a|2－2b·a＝|a|2－2|a||b|cos θ＝0，
|b|2－2b·a＝|b|2－2|a||b|cos θ＝0，故|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，所以
|a|2－2|a||a|cos θ＝0，故 cos θ＝，因为 0≤θ≤π，故 θ＝.]
三、解答题
9．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°.
求：(1)AD·BC；(2)AB·CD；(3)AB·DA.
[解]　(1)AD·BC＝|AD|2＝9；
(2)AB·CD＝－|AB|2＝－16；
(3)AB·DA＝|AB||DA|cos(180°－60°)＝4×3×＝－6.
10．已知非零向量 a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|.
(2)当a·b＝－时，求向量 a与a＋2b的夹角 θ的值．
[解]　(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，
即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，
故|b|＝.
(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
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