《数学人教A版必修4教学教案》1.1.1 任意角 （8）含答案

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任意角的三角函数
教学目标：
1理解并掌握任意角的三角函数的定义
2理解并掌握各三角函数在各象限的符号
教学重点：
任意角三角函数的定义
教学难点：
利用定义计算任意角的三角函数值
授课类型：
新授课
根据新课程改革的基本理念，我准备在教学过程中从问题情境出发，让学生
进行观察、操作、探究从而感受数学，然后引导学生去发现数学、建构数学，使他
们在这种过程中感悟并获得数学知识与思想方法，最终能运用所学的知识去解决
实际问题。
一k问题情境
问题 1求 的值。
师： 等于多少？k生：等于 。
我们知道， 是一个锐角，在初中，我们是如何定义锐角三角函数的？
复习锐角三角函数的定义：

在 中， 。
前面我们把角的概念推广到了任意角。那么如何求任意角的三角函数值呢？
问题 2求 的值。
师：怎么办？在直角三角形中能表现 这个角吗？还能不能在直角三角形
来求这个值？
1
生：不能在直角三角形中求出来。
师：对，显然，不能再用初中的定义，因为，这里没有直角三角形，也就没
有什么对边、邻边和斜边。那么，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行推广
这就是我们本节课要研究和解决的问题。
二k建构数学
【学生操作】kk课件 1
打开课件 1，观察任意角 α的终边分别位于不同位置时，三个比值的变化情况。
（请同学们仔细观察这个课件的演示情况，对我们以后的学习将有很大的帮
助。）
【教师总结】
随着 α的终边在轴上及各象限内变化，三个比值也随着变化；且对于任何一
个确定的角，每一个比值都是唯一确定的（终边在 y轴上时，y/x 除外），根据函
数的定义，它们实际上构成了以角为自变量、以比值为函数值的函数。我们把它们
分别叫做任意角的正弦、余弦、正切函数。
对课件 1的说明：
随着 α的终边在轴上及各象限内的变化，利用几何画板的动态演示和度量功
能，展示三个比值的变化情况。学生通过对课件 1的操作，将新授的抽象内容形
象化，有利于学生准确理解和掌握新知识；它也能为以后学习（三角函数的定义
域、值域、三角函数值的符号、单调性、奇偶性、对称性、周期性）作铺垫。
（一）任意角的三角函数的定义
根据在平面直角坐标系中研究角的做法，以角的顶点为坐标原点，以它的始边
为 轴的非负半轴，建立直角坐标系。设任意角 的终边上任意一点 的坐标为
，它与原点的距离是 （ ）。
当为锐角时，过点 作 轴的垂线 ， 为垂足，则， ，
，所以，在 中， ， ， 。
， ， 的值与 点的选择无关。想一想，为什么？
事实上，我们在角的终边上另取一点 ，，过点 作 轴的垂线 ， 为
垂 足 ，则， ， ， 可以证明∽
，从而 ， ， 。
一般地，对任意角 ，我们规定：
（1）kkk比值 叫做 的正弦，记作 ，即；
2
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