《初升高数学无忧衔接》专题08相似形（解析版）（人教A版2019）

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专题 08 相似形
利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线平行的一般步骤为：
（1）首先观察欲证平行线截哪个三角形；
（2）再观察它们截这个三角形的哪两边；
（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可，
当已知中有相等线段时，常利用它们和同一条线段（或其他相等线段）的比作为中间比.
常用的有用结论包括：
1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
2.推论
（1）平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
（2）平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应
成比例.
（3）三角形的两腰被一条直线所截的对应边成比例.
那么这条直线平行于底边.
3.三角形的内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边的长度比等于对应夹角两边的长度比.
《初中课程要求》 ① 了解比例的性质、线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的
实例了解黄金分割.
② 通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比.
③ 理解“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”
④ 了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似
比；面积比等于相似比的平方
⑤ 了解两个三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相
似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的
两个三角形相似.
专题综述
课程要求
课程要求
⑥ 会用图形的相似解决一些简单的实际问题.
《高中课程要求》 相似是高中数学的一个重要工具，要求学生们在解题过程中能灵活
应用相似的知识，很多时候相似是一个相当重要的工具，但是不会
单独考查相似的证明
高中必备知识点 1：平行线分线段成比例定理
在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题 .在数学学习与研究中，我
们发现平行线常能产生一些重要的长度比.
在一张方格纸上，我们作平行线 （如图 3.1-1 ） ， 直 线 交 于 点 ，
，另作直线 交 于点 ，不难发现
我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图， ，有 .当然，也可以得出 .在运用该定理解决问题的过程中，
我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
高中必备知识点 2：平行线分线段成比例定理的推论
知识精讲
推论 1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比
例.
推论 2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三
角形的三边对应成比例.
在 中， 为 的平分线，求证： .
证明 过 C作CE//AD，交 BA 延长线于 E，
AD 平分
由 知
.
上述试题的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两
边之比）.
高中必备知识点 3：射影定理
我们把下面试题的结论称为射影定理：
如图,在直角三角形 ABC 中， 为直角， .
求证：（1） ， ；
（2）
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