安徽省蚌埠市2023届高三第四次教学质量检查考试 数学答案

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蚌埠市 ２０２３
届高三年级第四次教学质量检查考试
数学参考答案及评分标准
一、
选择题：
题　号１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
答　案Ｂ Ｄ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ
二、
选择题：
题　号９ １０ １１ １２
答　案ＢＣ ＡＢＣＤ ＢＣＤ ＡＣ
三、
填空题：
１３６
５
，
( )
８
５　　１４
槡
６
　　１５１　　１６
４
４
π
３（２
分），
５
８
（３
分）
四、
解答题：
１７（１０
分）
（
１）∵２ｓｉｎ
２
Ａ－２ｓｉｎ
２
Ｂ＋２ｓｉｎＢｓｉｎＣ＝１－ｃｏｓ２Ｃ＝２ｓｉｎ
２
Ｃ，
∴ｓｉｎ
２
Ｂ＋ｓｉｎ
２
Ｃ－ｓｉｎ
２
Ａ＝ｓｉｎＢｓｉｎＣ，
由正弦定理得 ｂ
２＋ｃ
２－ａ
２＝ｂｃ，２
分………………………………………………………
∴ｃｏｓＡ＝
ｂ
２＋ｃ
２－ａ
２
２ｂｃ ＝ｂｃ
２ｂｃ
＝１
２
，
又Ａ
∈（０，
π
），∴Ａ＝π
３
 ５
分……………………………………………………………
（２）∵Ｓ
△ＡＢＣ 槡
＝６ ３，∴１
２
ｂｃｓｉｎπ
３槡
＝６ ３，∴ｂｃ＝２４ ７
分……………………………………
由题意知∠ＢＡＤ＝
∠ＤＡＣ＝π
６
，
∵Ｓ
△ＡＢＤ ＋Ｓ
△ＡＤＣ ＝Ｓ
△ＡＢＣ
，
∴１
２
ＡＢ·ＡＤｓｉｎπ
６＋１
２
ＡＤ·ＡＣｓｉｎπ
６＝１
２
ＡＢ·ＡＣｓｉｎπ
３
，
∴ｂ＋ｃ＝
槡
３
４
ｂｃ 槡
＝６ ３，９
分…………………………………………………………………
∴ａ
２＝ｂ
２＋ｃ
２－２ｂｃｃｏｓ
π
３＝（ｂ＋ｃ）
２－３ｂｃ＝３６，
故ａ＝６
∴△ＡＢＣ的周长为 槡
６＋６ ３ １０
分………………………………………………………
１８（１２
分）
（１）
由ａ
１＝２，
１
ｂ
ｎ
－１
ａ
ｎ
＝１，ａ
ｎ＋１ ＝２ｂ
ｎ得２
ａ
ｎ＋１
－１
ａ
ｎ
＝１，
整理得 １
ａ
ｎ＋１
－１＝１
２
（
１
ａ
ｎ
－１），
而１
ａ
１
－１＝－１
２
≠０，
所以数列 １
ａ
ｎ
{ }
－１是以 －１
２
为首项，
公比为 １
２
的等比数列，２
分………………………
所以 １
ａ
ｎ
－１＝－１
２
( )
１
２
ｎ－１
＝－１
２
ｎ
，
∴ａ
ｎ＝２
ｎ
２
ｎ－１
，５
分…………………………………………………………………………
）页４共（页１第案答考参学数级年三高市埠蚌
∴ｂ
ｎ＝１
２
ａ
ｎ＋１ ＝２
ｎ
２
ｎ＋１ －１
 ６
分……………………………………………………………
（２）
ｎ
ｂ
ｎ
＝ｎ·２
ｎ＋１ －１
２
ｎ＝２ｎ－ｎ
２
ｎ
，７
分……………………………………………………………
设Ｓ
ｎ＝１
２＋２
２
２＋…＋ｎ
２
ｎ
，　①
则１
２
Ｓ
ｎ＝１
２
２＋２
２
３＋…＋ｎ
２
ｎ＋１
，　②
①－
②得１
２
Ｓ
ｎ＝１
２＋１
２
２＋…＋１
２
ｎ－ｎ
２
ｎ＋１ ＝
１
２－１
２
ｎ＋１
１－１
２
－ｎ
２
ｎ＋１ ＝１－
ｎ＋２
２
ｎ＋１，
从而
Ｓ
ｎ＝２－
ｎ＋２
２
ｎ １１
分…………………………………………………………
∴Ｔ
ｎ＝
ｎ（２＋２ｎ）
２－Ｓ
ｎ＝ｎ
２＋ｎ－２＋
ｎ＋２
２
ｎ １２
分…………………………………………
１９（１２
分）
（１）
记“
所选取的 ２
名学生选考物理、
化学、
生物科目数量相等”
为事件 Ａ，
则Ｐ（Ａ）＝
Ｃ
２
１０ ＋Ｃ
２
４０ ＋Ｃ
２
５０
Ｃ
２
１００
＝
４１
９９
 ２
分………………………………………………………
（２）
由题意可知 Ｘ的可能取值分别为 ０，１，２，
则
Ｐ（Ｘ＝０）＝
Ｃ
２
１
０＋Ｃ
２
４
０＋Ｃ
２
５
０
Ｃ
２
１
００
＝
４１
９９
，Ｐ（Ｘ＝１）＝
Ｃ
１
１
０
Ｃ
１
４
０＋Ｃ
１
４
０
Ｃ
１
５
０
Ｃ
２
１
００
＝
１６
３３
，Ｐ（Ｘ＝２）＝
Ｃ
１
１
０
Ｃ
１
５
０
Ｃ
２
１
００
＝
１０
９９
，
从而 Ｘ的分布列为：
Ｘ０１２
Ｐ４１
９９
１６
３３
１０
９９
故Ｘ的期望为 Ｅ（Ｘ）＝０×
４１
９９
＋１×
１６
３３
＋２×
１０
９９
＝
６８
９９
 ７
分………………………………
（３）
所调查的 １００
名学生中物理、
化学、
生物选考两科目的学生有 ４０
名，
相应的频率为 ４０
１００
＝２
５
，９
分………………………………………………………………
由题意知Ｙ～Ｂ（４，
２
５
），
所以事件“Ｙ
≥２”
的概率为
Ｐ（Ｙ
≥２）＝Ｃ
２
４
（
２
５
）
２×（１－２
５
）
２＋Ｃ
３
４
（
２
５
）
３×（１－２
５
）＋Ｃ
４
４
（
２
５
）
４＝
３２８
６２５
１２
分……………………………………………………………………………
２０（１２
分）
（１）
证明：∵侧面 ＡＤＦＣ是正方形，
底面 ＡＢＣ是等腰直角三角形，∴ＣＡ
⊥ＡＢ，ＣＡ
⊥ＡＤ
又∵ＡＢ
∩ＡＤ＝Ａ，∴ＣＡ
⊥平面 ＡＢＥＤ，
而ＭＥ
平面 ＡＢＥＤ，∴ＣＡ
⊥ＭＥ ２
分…………
由题意四边形 ＡＢＥＤ为菱形，
且∠ＡＢＥ＝６０°，∴△ＡＥＤ是等边三角形，
∵Ｍ为ＡＤ中点，∴ＭＥ
⊥ＡＤ，
又ＣＡ
∩ＡＤ＝Ａ，∴ＭＥ
⊥平面 ＡＤＦＣ，
而ＭＥ
平面 ＣＭＥ，
∴平面 ＣＥＭ
⊥平面 ＡＤＦＣ ５
分…………………………………………………………
（２）
假设存在点 Ｐ满足题意，
则由（１）
知ＣＡ
⊥平面 ＡＢＥＤ，
∠ＢＡＤ＝１２０°，
取ＢＥ中点 Ｎ，
以ＡＮ，ＡＤ，ＡＣ方向分别为 ｘ
轴，ｙ
轴，ｚ
轴正方向建立空间直角坐标系，
则Ａ（０，０，０），Ｂ（
槡
３，－１，０），Ｅ（
槡
３，１，０），Ｍ（０，１，０），Ｃ（０，０，２）， ６
分………………
）页４共（页２第案答考参学数级年三高市埠蚌
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