上海市市北中学2021-2022学年高二上期末数学试卷

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上海市市北中学 2021-2022 学年高二上期末数学试卷
一、填空题（本大题满分 30 分，本大题共有 10 题）
1.直线 的倾斜角为　　．
2.设直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 则直线 与平
面 的位置关系为　　．
3.正方体 ,棱长为 ，则棱 所在直线与直线 间的距离为　　．
4.正方体 中， 为 中点，则 所成的角为　　．
5.在三棱锥 中 和 都是边长为 的正三角形，二面角 的大
小为 ，当 _____时，该三棱锥的全面积最大.
6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是
，则该四面体的体积为　　．
7.某校从高二年级期中考试的学生中抽取 60 名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方
图如图所示，现从成绩 70 分以上的学生中任选两人，则他们的分数在同一分数段的概率为
．
8.如图，在棱长为 2的正方体 中，点 是平面 上一动点，且满足
，则满足条件的所有点 所围成的平面区域的面积是　　．
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
9.气象意义上从春季进入夏季的标志为:连续 5天的日平均温度均不低于 22 度，现有甲，乙，
丙三地的连续 5天日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)
甲:5 个数据的中位数为 24，众数为 22;
乙:5 个数据的中位数为 27,平均值为 24;
丙:5 个数据中有一个数据是 32，平均值为 26，方差为 10.8;
则肯定能进入夏季的地区是____
10.已知实数 满足 ，则 的最
大值为_____
二、选择题（本大题满分 12 分，本大题共有 4题）
11.给定空间中的直线 及平面 ，条件“直线 与平面 内无数条直线都垂直”是“直线
与平面 垂直”的 　　 条件．
A．充要 B．充分非必要
C．必要非充分 D．既非充分又非必要
12.已知平面 平面 ，直线 点 ，平面 ， 间的距离为 4，则在 内到点
的距离为 5且到直线 的距离是 的点 的轨迹是 　　
A．一个圆 B．两条平行直线 C．四个点 D．两个点
13.设集合 ， ，如果命
题“存在 ， ”是真命题，则实数 的取值范围是 　　
A．B．
C．D．
14. 设 、 、 、 是 半 径 为 1的球面上的四个不同点，且满足 ，
， ，用 、 、 分别表示 、 、 的面积，
则 的最大值是 　　
A．B．2 C．4 D．8
三、解答题（本大题满分 58 分，本大题共有 5题）
15.已知直线 和 ，
（1）若 与 平行，求 的值；
（2）若 与 垂直，求 的值.
16.在正方体 中， 是棱 的中点.
（1）求直线 和平面 所成角的正弦值;
（2）在棱 上是否存在一点 使 平面 ，证明你的结论.
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