重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高三上学期11月模拟检测 数学答案

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2024 届高三 11 月模拟测试数学试题参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
C
B
B
B
B
B
AB
BD
AC
ABC
解析：
1. 由题意知：
 
 
26 0 2 3A x x x x x  
，
 
3
2 3 0 2
B x x x x
 
 
 
 
，
所以：
 
2,A B   
，故 D项正确.
2. 解：由题意，∵
 
 
2 2 2
i 1 i i + i i 2 1 i 2 2 0ia a a a a a a    
，
∴
2
2 2
1 0
a
a
 
 
，解得：
1a 
.
3. 因为
所以
2
π π 4
cos 1 sin
3 3 5
 
   
   
   
   
，
当
π4
cos 3 5
 
 
 
 
时，
π π π π π π
sin sin sin cos cos sin
3 3 3 3 3 3
 
 
     
 
     
 
     
 
3 1 4 3 3 4 3 0
5 2 5 2 10
   
，
为锐角，不合题意，舍去；
当
π4
cos 3 5
 
 
 
 
时，
π π π π π π
sin sin sin cos cos sin
3 3 3 3 3 3
 
 
     
 
     
 
     
 
3 1 4 3 3 4 3 0
5 2 5 2 10
   
，满足题意；
所以
sin
3 4 3
10
.
4. 由
1 2
2 1
n n n
a a a
 
 
（
3n
，
*
Nn
）可得
 
1 1 2 1 2
2 2 21 12
n n n n n n
a a a a a a
 
 
，
已知
11a
，
21a
，所以
1 2 1 3a a  
，
即
 
11
n n
a a
 
是一个以 3为首项，2为公比的等比数列，
所以
2
11 3 2
n n
n
a a
 
，即
2 *
13 2 1( 2, )N
n n
nn na a
 
，
0
1 2 3 2 1a a  
，
2
3 4 3 2 1a a  
，
4
5 6 3 2 1a a  
，
L
，
58
59 60 3 2 1a a  
，
 
0 2 58
60 1 2 60 3 2 2 2 30S a a a       
30
30
1 4
3 30 4 31
1 4
 
，
5. ①恰有 2个部门所选的旅游地相同，
第一步，先将选相同的 2个部门取出，有
2
4
C 6
种；
第二步，从 6个旅游地中选出 3个排序，有
3
6
A 120
种，
根据分步计数原理可得，方法有
6 120 720 
种；
②4个部门所选的旅游地都不相同的方法有
4
6
A 360
种，
根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有
720 360 1080 
种.
6.
1
2
t
，
1
12
( ) e e
t
h t
 
，
2 1 0t 
，
( )g t
的值域是
( , ) 
，
设
1 2
( ) ( )h t g t m 
，则
1
2
em
，
11
etm
，
1ln 1t m 
，
2
ln(2 1) 2t m  
，
2
2
1 1
e
2 2
m
t
 
，
所以
2 2
2 1
1 1 1 1
e ln 1 e ln
2 2 2 2
m m
t t m m
 
   
，
设
1
22
1 1
( ) e ln ( e )
2 2
x
f x x x
 
，
2
1 1
( ) e
2
x
f x x
 
，
设
( ) ( )F x f x
，则
2
2
1 1
( ) e
2
x
F x x
 
0
，
( )f x
是增函数，
又
(2) 0f
，因此
1
2
e 2x
 
时，
( ) 0f x
，
( )f x
递减，
2x
时，
( ) 0f x
，
( )f x
递增，
所以
min
1 1
( ) (2) ln 2 ln 2
2 2
f x f    
，
所以
2 1
t t
的最小值是
ln 2
，
7. 由题设
(c, 0)F
，令
( , )A m n
且
m a 
，
( , )C x y
，则
( , )B m n 
，且
2 2
2 2 1
m n
a b
 
①，
由
2 2 2
( , ) ( , ) 0AF FB c m n m c n m c n  
 
，即
2 2 2
m n c 
②，
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由
4 3
3 3( , ) ( , ) 3
x c m
BF FC c m n x c y y n
 
 
，即
(4 3 ,3 )C c m n
，
又C在双曲线上，则
2 2
2 2
(4 3 ) 9 1
c m n
a b
 
③，
由①得：
2 2
2 2 1
n m
b a
 
，代入③并整理得：
2 2
2 3 0c mc a  
，
由①②及
2 2 2
 a b c
得：
2 2 4
2 2 2 2 2 2
2 2
2
m b a
n b c m m a
a c
 
，
所以
2 2 2 2 2 2 2 4
(2 ) 9 18 9c a m c a c a 
，即
2 2 2 4 2 2 2 2
2 7 5 (2 5 )( ) 0c a c a c a c a  
，
显然
2 2
a c
，则
2
2
2
5 10
2 2
c
e e
a
 
.
8. 令
 
3 2
3 9 9f x x x x 
，
则
       
3 2 3
1 1 3 1 9 1 9 12 2f x x x x x x    
，
       
3 2 3
1 1 3 1 9 1 9 12 2f x x x x x x       
，
 
1 1 4f x f x  
，
()
f x\
关于
 
1, 2 
中心对称；
 
2 1 3
1 2 3
2
1 1 1
x
x
yx x x
 
 
 
，
1 2
1
x
yx
 
关于
 
1, 2 
中心对称；
 
2
3 6 9 3 3 1f x x x x x
   
，
当
 
, 3 1,x   
时，
 
0f x
；当
 
3,1x 
时，
()
0f x
¢>
；
()
f x\
在
 
, 3 , 1,  
上单调递减，在
 
3,1
上单调递增，
 
f x
极小值为
 
3 27 27 27 9 18f   
，极大值为
 
1 1 3 9 9 14f 
；
当
 
1,x  
时，
3
21
yx
 
单调递减，且
3
2 2
1
yx
   
，
当
1x
时，
3 1
2 14
1 1 2
y   
；
作出
 
f x
与
1 2
1
x
yx
在
1x 
时的图象如下图所示，
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