重庆市万州二中2023-2024学年高二上学期10月月考试题 数学 答案

3.0 envi 2024-11-25 4 4 409.11KB 9 页 3知币
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参考答案：
1—4：CBDA 5—8：ABBA
8.【详解】如图，根据题意，该正方体的外接球半径为
3R=
由题意，取
1
BB
的中点
N
，连接
, ,CN DN DO
以
D
为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系
(0 2 0), (0, 0, 0), (2, 2,1), (2, 2, 0), (1, 2, 2), (1,1,1)C D N B M O, ,
(2,0,1), ( 1, 0, 2), (0, 2,0)CN BM DC= = - =
 
，
1 0 0 2 2 0 0BM DC× = - ´ + ´ + ´ =
 
则
CN BM^
，
DC BM^
又
,CD CN Ì
平面
DCN
，
CD CN CÇ =
BM\ ^
平面
DCN
\
点
P
的轨迹为平面
DCN
与外接球的交线
设点
O
到平面
DCN
距离为
d
，则
1 1 0 1 2 1
5
1
5
DO BM
d
BM
×- ´ + ´ + ´
= = =
 
O\
到过平面
DCN
距离
1
5
d=
\
截面圆的半径
2 2
r R d= - =
1 14
35 5
- =
\
点
P
的轨迹周长为
2 70
25
C r
p p
= =
9．ABD
10．ACD
11．BD
12．AC
12.【详解】
则
()
0,0,0D
，
()
2,0,0A
，
()
2, 4, 0B
，
()
0, 4, 0C
，
()
2, 2, 0E
，
()
0, 2, 0F
，
设
()
2, , 2 ,0 4P t t< <
，
则
()
2, , 2DP t=
，
()
0, 2, 2EP t= -
，
()
0, 2, 0DF =
，
()
2, 2, 0DE =
，
()
2, 2, 2FP t= -
，
()
0, 4, 2BP t= -
，
取平面 PEB 的一个法向量为
()
2,0,0m DA= =
，
设平面 PDF 的法向量为
()
1 1 1
, ,n x y z=
，
则
1
1 1
0
0
0
0
y
n DF
x z
n DP
ìì=
× = Þ+ =
× = î
î
，取
()
2,0, 2n= -
，
设平面 PDE 的法向量为
()
2 2 2
, ,p x y z=
，
则
2 2 2
2 2
2 2 0
0
0
0
x ty z
p DP
x y
p DE
ìì+ + =
× = Þ+ =
× = î
î
，取
()
2, 2, 2p t= - -
，
设平面 PFB 的法向量为
()
3 3 3
, ,q x y z=
，
则
()
()
3 3 3
3 3
2 2 2 0
0
4 2 0
0
x t y z
q FP
t y z
q BP
ìì+ - + =
× = Þ- + =
× = î
î
，取
()
2, 2, 4q t= - -
，
A：设直线
PE
与平面
PDF
所成角为β，
则
2 2
4 2
sin cos ,
4 4 ( 2) 4 ( 2) 4
EP n
EP n
EP n t t
b
×
= = = =
×+ × - + - +
，
0＜t＜2时，函数 y＝
2
2
( 2) 4t- +
单调递增，2＜t＜4时，函数 y＝
2
2
( 2) 4t- +
单调递减，
∴当 t＝2时，即 P是
1 1
A B
中点的时候，sinβ取最大值，故 A正确.
B：设直线
PD
与平面
PEB
所成角为α，
则
2 2
4 2
sin cos ,
2 8 8
DP m
DP m
DP m t t
a
×
= = = =
×+ +
，
∵0＜t＜4时，函数
2
2
8
y
t
=+
单调递减，没有最大值，故 B错误.
C：设平面
PDE
与平面
PFB
的夹角为θ，
则
2
2 2
6 16
cos cos
8 ( 2) 8 ( 4)
p q t t
p q p q t t
q
×- +
= × = =
×+ - × + -
 
   
下面研究函数
2
2 2
6 16
8 ( 2) 8 ( 4)
t t
y
t t
- +
=+ - × + -
在t∈(0，4)上的单调性：
令t－3＝s，
2 2
( 3)t s r- = =
，
2 2 2
6 16 ( 3) 7 7t t t s- + = - + = +
，
2
8 ( 2)t+ -
＝
()()
2 2 2
8 [ 3 1] 9 ( 3) 2 3 9 2t t t s s+ - + = + - + - = + +
，
2
8 ( 4)t+ -
＝
()()
2 2 2
8 [ 3 1] 9 ( 3) 2 3 9 2t t t s s+ - - = + - - - = + -
，
则
2 2
8 ( 2) 8 ( 4) =t t+ - × + -
()()
2 2
9 2 9 2s s s s+ + + -
()()
2 2
2 2 4 2 2
9 4 14 81 7 32s s s s s= + - = + + = + +
，
∴
2
2 2
6 16
8 ( 2) 8 ( 4)
t t
y
t t
- +
=+ - × + -
()
2
2
2
7
7 32
s
s
+
=
+ +
()
()()
2
2
22
2
2
2
1 1 1
32 32
7 32 1 1 ( 7)
7
7
s
r
s
s
= = =
+ + + + +
+
+
，
t∈(0，4)，
2
( 3)r t= -
在
()
0,3tÎ
递减，在
()
3, 4tÎ
递增，且
[)
0,9rÎ
，
又
2
1
32
1( 7)
y
r
=
++
在
[)
0,9rÎ
时递增，
故由复合函数单调性判断原理可知
2
2 2
6 16
8 ( 2) 8 ( 4)
t t
y
t t
- +
=+ - × + -
在
()
0,3tÎ
递减，在
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