云南省玉溪市一中2022-2023学年高二下学期第一次月考数学（理）试题答案（简版）

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答案第 1页，共 7页
玉溪一中 2022-2023 学年下学期高二年级月考一
数 学（理）参考答案
一、 单选题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
A
B
D
C
B
二、 多项选择题
题号
9
10
11
12
答案
BD
AD
BCD
BC
三、 填空题
题号
13
14
15
16
答案
41
78
8
73
2



，
四、解答题
17.（1）取
AB
的中点
O
,连接
,SO DO
.
因为
SAB SBA = 
,所以
SA SB=
,所以
SO AB⊥
.
又二面角
S AB D−−
为直二面角,所以
SO ⊥
平面
ABCD
.
因为
MC
平面
ABCD
，所以
SO MC⊥
.
在正方形
ABCD
中,
,OM
分别为
,AB AD
的中点,所以△
DAO
≌△
CDM
,
所以
ODM MCD = 
.
又
90MCD DMC + = 
,所以
90ODM DMC+ = 
,所以
MC DO⊥
.
因为
OD OS O=
,
OD
平面
SOD
,
OS
平面
SOD
,所以
MC ⊥
平面
SOD
.
又
SD
平面
SOD
,所以
MC SD⊥
. …………4分
答案第 2页，共 7页
（2）取
CD
的中点
G
,连接
OG
.由（1）可知
,,OB OS OG
两两垂直.
以
O
为坐标原点,
,,OB OG OS
所在直线分别为
x
轴、
y
轴、
z
轴正方向建立如图所示的空间
直角坐标系.
不妨设
2,AB =
则
( ) ( )
( )
( ) ( )
1,0,0 , 1,0,0 , 0,0, 3 , 1,1,0 , 1,2,0A B S M D− − −
.
所以
( ) ( )
( ) ( )
1,1, 3 , 1,0, 3 , 2,2,0 , 2,1,0SM AS BD BM= − − = = − = −
.
则
1 2 2 4 1
, ,0 , , ,0 .
3 3 3 3 3
BN BD MN BN BM
 
= = − = − = −
 
 
设平面
SMN
的一个法向量
( )
,,n x y z=
.
则
30
410
33
n SM x y z
n MN x y
= − + − =
= − =
，
不妨设
1,y=
则
13
,1, .
44
n
=


设直线
SA
与平面
SMN
所成角为
，则
( )
2
2
2
2 2 2
13
|1 0 1 3 | 5
44
sin cos , 5
13
1 0 3 1
44
AS n
AS n AS n
+  +
= = = =


+ + + + 

 
所以直线
SA
与平面
SMN
所成角的正弦值为
5
5
. …………10 分
18．【详解】（1）由题意知
ABC
中，
cos 3 sina C a C b c+ = +
，
答案第 3页，共 7页
由正弦定理边角关系得：则
sin cos 3sin sinA C A C+
( )
sin sin sin sin sin cos cos sin sinB C A C C A C A C C= + = + + = + +
，
∴
3sin sin cos sin sinA C A C C=+
，
∵
( )
0,πC
，
∴
sin 0C
，∴
3sin cos 1AA−=
，
∴
π
2sin 1
6
A

−=


，∴
π1
sin 62
A

−=


，
又
( )
0,πA
，
π π 5π
,
6 6 6
A
−  −


，
所以
π π
=
66
A−
，即
π
3
A=
． …………4分
（2）如下图所示，在
ABC
中，
AM
为中线，
∴
2AM AB AC=+
，
∴
( )
2
2 2 2 22
42AM AB AC AB AB AC AC c b bc= + = + + = + +
，
∴
22 12b c bc+ + =
．
∵
33
4
ABC
S=
△
，∴
1 3 3 3
sin
2 4 4
bc A bc==
，
3bc =
，
∴
22
2 15b c b bc c+ = + + =
，
∵
ABC ABN ACN
S S S=+
△ △ △
，
∴
( )
3 3 1 π15
sin
4 2 6 4
b c AN AN= + =
，∴
35
5
AN =
． …………12 分
19．【详解】（1）取
1n=
，由
1
11
3 2 1 1a=+
，得
11a=
；
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