河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题答案

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唐山市 2022～2023 学年度高二年级第一学期学业水平调研考

试

数学参考答案及评分标准

一．选择题：

1－4 CADA 5－8 BCAB

二．选择题：

9．CD 10．ABD 11．ACD 12．BD

三．填空题：

13．2 14．15．4 16．

四．解答题：

17．解：

（1）设所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝r2．…2分

因为点A(1，5)在圆C上，则(1－3)2＋(5－3)2＝r2，

解得r2＝8，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝8．…4分

（2）因为直线l被圆C截得的弦长为4，

所以圆心到直线l的距离d＝＝2．…5分

当l的斜率不存在时，直线l方程为x＝1，符合题意． …6分

当l的斜率存在时，设直线l方程为y＋5＝k(x－1)，即kx－y－k－5＝0．

则d＝＝2，解得k＝． …9分

此时直线l方程为y＋5＝(x－1)，即15x－8y－55＝0．

综上所述，直线l的方程为x＝1或15x－8y－55＝0．…10分

18．解：

（1）证明：

取AA1的中点H，连接MH，HN．

因为M为AC的中点，所以MH∥A1C．

因为MH平面A1B1C，A1C平面A1B1C，所以MH∥平面A1B1C．…2分

因为H，N分别为AA1，BB1的中点，所以HN∥A1B1，

因为HN平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以HN∥平面A1B1C．

因为MH∩HN

＝

H，所以平面MHN∥平面A1B1C．

因为MN平面MHN，所以MN∥平面A1B1C．…4分

（2）因为CB⊥平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，所以CB⊥AB．

因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥BC，BB1⊥AB．…6分

AA1

C C1

以BA，BB1，BC 所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系

B-xyz，

则B(0，0，0)，A(2，0，0)，B1(0，4，0)，

A1(2，4，0)，C(0，0，2)，

AA1＝(0，4，0)，CB1＝(0，4，－2)，

B1A1＝(2，0，0)．

…8 分

设平面 A1B1C的法向量为 n＝(x，y，z)．

由得

取n＝(0，1，2)．…10 分

所以点A到平面A1B1C的距离d＝\s\up8(|\o(AA1＝． …12分

19．解：

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x－m＝ty，…2分

将直线AB的方程代入y2＝4x，得y2－4ty－4m＝0．…4分

由OA⊥OB，得·＝－1＝·，即y1y2＝－16，…6分

（1）所以－4m＝－16，m＝4，

故直线AB：x－4＝ty，恒过定点(4，0)．…8分

（2）由抛物线的定义，|AF|＋4|BF|＝(x1＋1)＋4(x2＋1)

＝＋y2＋5 …10分

≥|y1y2|＋5＝21．

所以|AF|＋4|BF|的最小值为21．…12分

20．解：

（1）b1＝2，b2＝5，b3＝11，b4＝23，…2分

猜想bn＝3×2n－1－1．…4分

（2）由题意，知a2n＋1＝2a2n，a2n＋2＝a2n＋1＋1，代入得a2n＋2＝2a2n＋1，

于是a2n＋2＋1＝2a2n＋2，即bn＋1＋1＝2(bn＋1)，…6分

从而{bn＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，则bn＝3×2n－1－1．…8分

（3）S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)

＝[(b1－1)＋(b2－1)＋…＋(bn－1)]＋(b1＋b2＋…＋bn)

＝6(20＋21＋…＋2n－1)－3n＝6×2n－3n－6．…12分

21．解：

（1）证明：连接 BD 交AC 于O，连接 PO．

因为底面 ABCD 是边长为 2的菱形，所以 BD⊥AO，…2 分

因为 O是BD 中点，PB＝PD，所以 BD⊥PO．

因为 AO∩PO＝O，所以 BD⊥平面 PAO，…4 分

因为 PA平面 PAO，所以 PA⊥BD．

因为 PA⊥AC，BD∩AC＝O，所以 PA⊥平面 ABCD．…6 分

（2）如图，取线段BC的中点H，连接AH，易知

AH⊥AD．

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