河北省秦皇岛市部分学校2023-2024学年高三上学期开学联考 数学答案和解析

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【 ·高三开学检测———数学答案　第１页（共８页）】
高三年级开学检测———数学答案与解析
１．Ｃ
　
２．Ａ
３．Ｃ
　【解 析】
△
犃犅犆
为等边三角形
（法 一）由 题 意 ，
→
犃犕
＝２
３
→
犃犅
＋１
３
→
犃犆
　　
→
犃犖
＝１
３
→
犃犅
＋２
３
→
犃犆
∴→
犃犕
·→
犃犖
＝２
９
→
犃犅
２＋５
９
→
犃犅
·→
犃犆
＋２
９
→
犃犆
２＝２＋５
２＋２＝
１３
２
（法 二）以
犅犆
所在直线为
狓
轴，以
犅犆
垂直平分线
犃犇
为
狔
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则
犃
（
０
，槡
３ ３
２
）
　
犕
（
－１
２
，
０
）
　
犖
（
１
２
，
０
）
→
犃犕
·→
犃犖
＝（
－１
２
，
－槡
３ ３
２
）·（
１
２
，
－槡
３ ３
２
）
＝－１
４＋
２７
４＝
１３
２
（法 三）取
犕犖
中点为
犇
∵
犕犖
为
犅犆
边的三等分点
∴→
犃犕
·→
犃犖
＝（→
犃犇
＋→
犇犕
）·（ →
犃犇
＋→
犇犖
）
＝→
犃犇
２－→
犇犕
２＝
２７
４－１
４＝
１３
２
４．Ａ　
５．Ｃ
６．Ｂ
　　 【解 析 】
狓
狔
＋
狔
≥
２
狓
狔
槡２，
狓
狔
＋
狔
＝８
，
２
狓
狔
槡２≤
８
，当 且 仅 当
狓
狔
＝
狔
时，等 号 成 立 ，得
狓
＝１
，
狔
＝４．
则槡
狓
狔
≤
４
，
ｌｏ
ｇ
４
狓
＋ｌｏ
ｇ
２
狔
＝ｌｏ
ｇ
２槡
狓
狔
≤
ｌｏ
ｇ
２
４＝２．
７．Ｄ
　【解 析】
∵槡
２
２＜
犲
＜
１
，
∴
犮
２
犪
２＞１
２
，
２
犮
２＞
犪
２，即２
犮
２＞
犫
２＋
犮
２，
犮
２＞
犫
２，
∴以
犉
１
犉
２为直径作圆与
犆
必有四个不同的交点，
∴△
犕犉
１
犉
２中∠
犉
１
犕犉
２＝９０
°
的 三 角 形 有 四 个，且∠
犕犉
１
犉
２为 直 角，
∠
犕犉
２
犉
１为直角的各
有两个，存在使△
犕犉
１
犉
２为直角三角形的点
犕
有８个．
８．Ｄ
　【解 析】
犳
（
狓
）
＝１
２
ｓｉｎ
狓
ｃｏｓ
狓
－槡
３
２
ｃｏｓ
２
狓
＋槡
３
４＝１
４
ｓｉｎ２
狓
－槡
３
２
１＋ｃｏｓ２
狓
２＋槡
３
４
＝１
４
ｓｉｎ２
狓
－槡
３
４
ｃｏｓ２
狓
＝１
２
ｓｉｎ
（
２
狓
－
π
３
）
犳
（
狓
）
＝１
３在（
０
，
π
）有 两 根
狓
１，
狓
２，
则０
＜
狓
＜
π
时，
－
π
３＜
２
狓
－
π
３＜
５
π
３
ｓｉｎ
（
２
狓
１－
π
３
）
＝ｓｉｎ
（
２
狓
２－
π
３
）
＝２
３
∴不妨设０
＜
２
狓
１－
π
３＜
π
２＜
２
狓
２－
π
３＜
π
，
则２
狓
１－
π
３＋２
狓
２－
π
３＝
π
，
狓
１＋
狓
２＝
５
π
６
，
狓
２＝
５
π
６－
狓
１
ｃｏｓ
（
狓
１－
狓
２）
＝ｃｏｓ
［
狓
１－（
５
π
６－
狓
１）］
＝ｃｏｓ
（
２
狓
１－
５
π
６
）
＝ｃｏｓ
（
２
狓
１－
π
３－
π
２
）
＝ｓｉｎ
（
２
狓
１－
π
３
）
＝２
３
{#{QQABYYQUogAoABBAARgCEQGgCEAQkBACAAgGhAAIIAABiRFABAA=}#}
【 ·高三开学检测———数学答案　第２页（共８页）】
９．ＡＢ
　
１０．ＢＣＤ
１１．ＢＤ
　【解 析】
∵
犳
（
狓
）
－
犳
（
狓
－１
）
＝
犳
（
狓
＋１
）
　①
∴
犳
（
狓
）
＝
犳
（
狓
－１
）
＋
犳
（
狓
＋１
），
则
犳
（
狓
＋１
）
＝
犳
（
狓
）
＋
犳
（
狓
＋２
）
　②
由①②得，
－
犳
（
狓
－１
）
＝
犳
（
狓
＋２
），即
犳
（
狓
）
＝－
犳
（
狓
＋３
）
　③
∴
犳
（
狓
＋３
）
＝－
犳
（
狓
＋６
），
犳
（
狓
）
＝
犳
（
狓
＋６
）
　④
犳
（
狓
）周期为６
，由
犳
（
狓
－２
）
＋
犳
（
２－
狓
）
＝０
，得
犳
（
狓
）为 奇 函 数 　⑤
犳
（
０
）
＝０
由③⑤得，
犳
（
狓
）
＝－
犳
（
狓
＋３
）
犳
（
狓
）
＝－
犳
（
－
狓
）
犳
（
狓
＋３
）
＝
犳
（
－
狓
），
∴
犳
（
狓
）关 于
狓
＝３
２对称，
由④⑤得，
犳
（
狓
）
＝
犳
（
狓
＋６
）
犳
（
狓
）
＝－
犳
（
－
狓
）
犳
（
狓
＋６
）
＋
犳
（
－
狓
）
＝０
，
∴
犳
（
狓
）关 于（
３
，
０
）对 称 ，
故ＢＤ 正确．
１２．ＢＣＤ
　【解 析】
∵动点
犖
到（
０
，
２
）距 离 为槡
２
２｜
犖犉
｜
设
犖
点为（
狓
，
狔
），则
狓
２＋（
狔
－２
）
槡２＝槡
２
２
狓
２＋（
狔
－１
）
槡２
整理得，
狓
２＋
狔
２－６
狔
＋７＝０
，即
狓
２＋（
狔
－３
）
２＝２
∴
犖
点的轨迹是以（
０
，
３
）为圆心，
槡
２为半径的圆，
设
犕
点为（
狓
，
狔
），则
犕
点到（
０
，
３
）距 离
犱
＝
狓
２＋（
狔
－３
）
槡２＝
狓
２＋
狔
２－６
狔
槡＋９＝
狔
２－２
狔
槡＋９
∴
狔
＝１时，
犱
最小为 槡
２ ２，
∴
｜
犕犖
｜
最小值为 槡 槡 槡
２ ２－ ２＝ ２，故
犃
错误．
∵
犉
点为（
１
，
０
），
∴
｜
犖犉
｜
最小为 槡
２－ ２，
｜
犕犉
｜
最小值为１
，
∴
｜
犕犉
｜
＋
｜
犖犉
｜
最小为 槡
３－ ２，故
犅
正确．
｜
犕犉
｜
等于点
犕
到直线
狔
＝－１的距离，
∴
｜
犕犖
｜
＋
｜
犕犉
｜
最小值为（
０
，
３
）到 直 线
狔
＝－１的距离减去槡
２，即槡
４－ ２，故
犆
正确．
∵
犖
到（
０
，
２
）的距离为槡
２
２｜
犖犉
｜
∴槡
２
２｜
犖犉
｜
＋
｜
犕犖
｜
最小值为
犖
到（
０
，
２
）的 距 离 与
｜
犕犖
｜
和的最小值，
即
犕
到（
０
，
２
）的 距 离 最 小 值 ，
设
犕
为（
狓
，
狔
）
则
犕
到（
０
，
２
）距 离 为
狓
２＋（
狔
－２
）
槡２＝
狓
２＋
狔
２－４
狔
槡＋４＝
狔
２
槡＋４
当
狔
＝０时，
狔
２
槡＋４最小值为２
，
∴槡
２
２｜
犖犉
｜
＋
｜
犕犖
｜
最小值为２
，
得
｜
犖犉
｜槡
＋ ２
｜
犕犖
｜
最小值为 槡
２ ２，故Ｄ正确．
{#{QQABYYQUogAoABBAARgCEQGgCEAQkBACAAgGhAAIIAABiRFABAA=}#}
【 ·高三开学检测———数学答案　第３页（共８页）】
１３．２９
　　
１４．－１
１５．１０２５
　
犛
狀
＝３
狀
－１＋１
【解 析】由数阵形成规律，设 第
狀
行数据有
犪
狀
个，
则
犪
狀
＝
犪
狀
－１＋
犪
狀
－１－１＝２
犪
狀
－１－１
（
狀
≥
２
）
则
犪
狀
－１＝２
（
犪
狀
－１－１
）
｛
犪
狀
－１
｝是以１为 首 项 ，
２为公比的等比数列．
则
犪
狀
－１＝２
狀
－１，
犪
狀
＝２
狀
－１＋１
∴
犪
１１ ＝１０２５
设第
狀
行数据的和为
犛
狀
第
狀
－１行数据为１
，
狓
１，
狓
２，
狓
３，…，
狓
犿
，
１
则第
狀
行数据为１
，
１＋
狓
１，
狓
１，
狓
１＋
狓
２，
狓
２，
狓
２＋
狓
３，
狓
３，…，
狓
犿
，
狓
犿
＋１
，
１
∴
犛
狀
＝３
犛
狀
－１－２
（
狀
≥
３
）
∴
犛
狀
－１＝３
（
犛
狀
－１－１
）
得｛
犛
狀
－１
｝从第二项起，是 以
犛
２－１＝３为第二项，以３为公比的等比数列
∴
犛
狀
－１＝３
·
３
狀
－２＝３
狀
－１（
狀
≥
２
）
犛
狀
＝３
狀
－１＋１
（
狀
≥
２
）
狀
＝１时，
犛
１＝２
∴
犛
狀
＝３
狀
－１＋１
１６．４１
π
　【解 析】三 棱 锥 底 面 为 直 角 三 角 形 ，
犗
为△
犃犅犆
内心，
∵
犃犅
＝４
，
犅犆
＝３
∴△
犃犅犆
内切圆半径
狉
＝
４＋３－５
２＝１
设四面体
犘犃犅犆
外接球球心为
犗′
，
则
犗′
在平面
犃犅犆
射影为
犃犆
中点
犙
，且
犗犙
＝槡
５
２
，设
犗′犘
＝
犗′犆
＝
犚
则
犗′犙
２＋
犙犆
２＝
犚
２
（
５－
犚
２－
犗犙
槡２）
２＋（
５
２
）
２＝
犚
２
（
５－
犚
２－
槡５
４
）
２＋
２５
４＝
犚
２
解得
犚
２＝
４１
４
则四面体
犘犃犅犆
的外接球表面积为４１
π
．
１７．
解：（
１
）收视时间在０
～
１０分钟组的频率为
１－（
０．０１８＋０．０２２＋０．０２５＋０．０２０＋０．００５
）
×１０＝０．１
∴
狆
＝
０．１
１０ ＝０．０１ ２ 分
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
又∵收视时间低于１０分钟的有１０人．
∴２
狀
＝１０
０．１
∴
狀
＝５０ ５分
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
（
２
）
∵
狀
＝５０
∴“热 心 观 众”有２×５０×（
０．０２０＋０．００５
）
×１０＝２５人
{#{QQABYYQUogAoABBAARgCEQGgCEAQkBACAAgGhAAIIAABiRFABAA=}#}
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