湖北省华中师范大学东湖开发区第一附属中学2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学试题 Word版含解析

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2025 届湖北省华中师范大学东湖开发区第一附属中学
高中毕业班第一次调研测试数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题 卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)
填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先
划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 a，b 都是不等于 1 的正数，则
“loga2<logb2”
是“2a>2b>2
”
的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,
PA=❑
√
5,
E 为 PC 的中点，则异面直线 BE
与 PD 所成角的余弦值为 ( )
A .
❑
√
13
39
B .
❑
√
13
39
C . −
❑
√
15
5
D .
❑
√
15
5
3.总体由编号 01，02，…，19，20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是随机数表第 1 行
的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08 B.07 C.02 D.01
4.已知函数
若关于 x 的方程
[
f
(
x
)
)
²−2af
(
x
)
+3a=0
有六个不相等的实数根，则实数 a 的取
值范围为( )
A .
(
3. 16
5
)
B .
(
3,16
5
)
C.(3,4) D.(3,4]
5. 已 知 y=a
x
+b 与 函 数 f(
x
)=2ln
x
+5 和
g
(
x
)
=x²+4
都 相 切 ， 则 不 等式组
{
x − ay+3≥0
x+by − 2≥0
)
所 确 定 的 平 面 区 域 在
x²+y²+2x −2y −22=0
内的面积为( )
A.2π B.3π C.6π D.12π
6.已知 x，y 满足约束条件
{
x − y ≥ 0
x+y ≤ 2,
y ≥ 0
)
则z=2x+y 的最大值为
A、 l B.2 C.3 D.4
7.为得到
y=sin
(
2x− π
3
)
的图象, 只需要将 v =sin2x 的图象( )
A.向左平移53 个单位 B.向左平移 π/6 个单位
C.向右平移5 个单位 D.向右平移 π/6 个单位
8.在
(
1− x
)
⁵+
(
1− x
)
⁶+
(
1− x
)
⁷+
(
1− x
)
⁸
的展开式中，含x³的项的系数是 ( )
A.74 B.121 C.- 74 D.- 121
9.已知双曲线 C 的两条渐近线的夹角为 60°，则双曲线 C 的方程不可能为( )
A . x2
15 −y2
5=1
B . x2
5−y2
15 =1
C . y2
3−x2
12=1
D . y2
21 −x2
7=1
10.设命题 P: a,b∈R, |a-b|<|a|+|b|,∀则￢p 为
A. a,b∈R, |a-b|≥|a|+|b| B∀. a,b∈R, |a-b|<|a|+|b|∃
C. a,b∈R, |a-b|>|a|+|b| D∃. a,b∈R, |a-b|≥|a|+|b|∃
11.已知等差数列{
an
}的前 n 项和为 Sn，若
a₁=12 , S ₅=90 ,
则等差数列{
an
}公差 d= ( )
A.2 B.32 C.3 D.4
12.在声学中, 声强级 L (单位: dB) 由公式
L=10 lg
(
1
10−12
)
给出，其中/ 为声强(单位：
W/m²¿, L₁=60 dB ,
L=75dB, ₂那么
I1
I2
=( )
A.10
B.10
C . − 3
2
D.10
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.记等差数列{
an
}和{
bn
}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，若
Sn
Tn
=3n+5
n+7,
则
a7
b7
=¿
14.已知函数
f
(
x
)
=eˣ+ax − 1,
若
x ≥
0
,f(x)
≥
0恒成立, 则 a 的取值范围是 .
15.已知向量 a, b 满足
¿
⃗
a∨¿2,∨
⃗
b∨¿1,∨
⃗
a −
⃗
b∨¿❑
√
3,
则向量
α
在 b 的夹角为 。
16.设 α、β为互不重合的平面，m，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m∥n, 则 m∥α;
②若m α⊂，n α⊂,m∥β,n∥β,则 α∥β;
③若α∥β, m α⊂,n β, ⊂则m∥n;
④若α⊥β, α∩β=m, n α, m⊥n, ⊂则 n⊥β;
其中正确命题的序号为 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是
{
x=1+2 cos α
y=2 sin α
)
(α为参数)，以原点 O为极点，x 轴正半
轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
ρcos
(
θ+π
4
)
=❑
√
2.
(Ⅰ)求曲线 C 的普通方程与直线 l 的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点, 与 x 轴交于点 P, 求|PA|·|PB|.
18.(12 分) 已知数列{
an
}的前 n 项和 Sn 和通项 an满足
2Sn+an=1
(
n∈N∗
)
.
(1) 求数列
aₙ
的通项公式；
(2) 已知数列
bₙ
中，
b₁=3a₁, bₙ₊ ₁=bₙ+1
(
n∈N²
)
,
求数列
aₙ+bₙ
的前 n 项和 Tn.
19.(12 分) 已知数列
aₙ
满足
a1=3
2,
且
an=an −1
2+1
2n − 1
(
n ≥ 2, n ∈N∗
)
.
(1) 求证: 数列
{2ᵃaₙ
}是等差数列，并求出数列{
an
}的通项公式：
(2) 求数列{
an
}的前 n 项和 Sn.
20.(12 分) 根据国家统计局数据, 1978 年至 2018 年我国 GDP 总量从 0.37 万亿元跃升至 90 万亿元, 实际增长了242
倍多，综合国力大幅提升.
将年份 1978, 1988, 1998, 2008, 2018 分 别用 1, 2, 3, 4, 5 代替, 并表示为t; y 表示全国 GDP 总量, 表中
zi=ln yi
(
i=1,2,3,4,5
)
.
(1) 根据数据及统计图表，判断
^
y=bt+a
与
^
y=cedJ
(其中
e=2.718 ⋯
为自然对数的底数)哪一个更适宜作为全国
GDP 总量y 关于 t的回归方程类型? (给出判断即可，不必说明理由)，并求出 y 关于 t的回归方程.
(2) 使用参考数据，估计 2020 年的全国 GDP 总量.
线性回归方程
^
y=
^
b x+â
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
参考数据：
n45678
e的近似值 55 148 403 1097 2981
21.(12 分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以 O为圆心的半圆及直径AB
围成.在此区域内原有一个以 OA 为直径、C 为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边
形的展示区 COPQ，其中 p、Q分别在半圆 O 与半圆 C 的圆弧上，且PQ与半圆 C 相切于点 Q.已知 AB 长为 40 米，设
∠BOP
为 2θ.(上述图形均视作在同一平面内)
(1) 记四边形 COPQ的周长为 f(θ),求 f(θ)的表达式;
(2) 要使改建成的展示区 COPQ的面积最大，求 sinθ的值.
22.(10 分) 已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 且
(
sinA− sinB
)
²=sin ² C − sinAsinB .
(Ⅰ) 求 C;
(Ⅱ)若 c=I，△ABC 的周长是否有最大值? 如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.
参考答案
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