黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试 数学 Word版含答案

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2022 级高三学年上学期期中考试
数 学 试 题
考试时间：120 分钟 分值：150 分
命题人：张茜茜 审题人：朱天玲
一、单选题(每题 5分，共 40 分)
1. 在 中, , , 则= ( )
A. 3 B. C.-3 D.
2. 记
Sn
为等差数列
{an}
的前
n
项和, 若
a₃+a₉=14 , a ₆a₇=63 ,
则
S₇=¿
( )
A.21 B.19 C.12 D.42
3. 正四棱台的上、下底面的边长分别为 2，4，高为
❑
√
3
，则其侧面积为( )
A.20 B.24 C.12
❑
√
3
D.24
4. 如图,在空间四边形
ABCD
各边
AB , BC , CD , DA
上分别取点
E , F ,G , H ,
若直线
EH ,GF
相交于点
P
，则下列结论错误的是( )
A. 点P必在平面 ABD 内B. 点P必在平面 CBD 内
C. 点P必在直线 BD 上D. 直线 FG 与直线 BD 为异面直线
5. 某同学用“五点法”画函数
f(x)=Asin(ωx +φ)(ω>0,∨φ∨¿π
2)
在某一个周期内的图象时，列表
并填入了部分数据，如下表：
ωx+φ
0
π
2
π
3π
2
2π
x
π
3
5π
6
Asin(ωx+φ)
0 5 -5 0
根据这些数据，要得到函数
y=Asinωx
的图象，需要将函数
f(x)
的图象( )
A. 向左平移
π
6
个单位 B. 向右平移
π
6
个单位 C. 向左平移
π
12
个单位 D. 向右平移
π
12
个单位
6. 已知函数
f
(
x
)
=1
ex+1−1
2,
若正实数
a , b
满足
f(a)+f(2b− 1)=0
,则
b
a+2
b
的最小值为( )
A.
4+2❑
√
2
B. 7 C.
5+3❑
√
2
D.
17
2
7.已知
⃗
a ,
⃗
b ,
⃗
c
均为单位向量，且
¿
⃗
a ,
⃗
b≥2π
3,<
⃗
a+
⃗
b ,
⃗
c≥π
3
则
¿
⃗
a+
⃗
b+t
⃗
c∨
(
t∈R
)
的最小值为( )
A.
3
4
B.
❑
√
3
2
C.
9
4
D.
3
2
8. 数列
{an}
满足
a₁=1, aₙ ₊ ₁+aₙ=2n+1,
若数列
{
an+1+1
an⋅an+1⋅2an
}
的前
n
项和为
Tn
，则
Tn>2023
2024
的
n
的最
小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
二、多选题(每题 6分，共 18 分)
9.已知向量
a , b , c
满足
⃗
a=
(
1,1
)
,
⃗
b=
(
−1,2
)
,
⃗
c=
(
2m , n− 1
)
,
则( )
A.
|
⃗
a−
⃗
b
|
=5
B. 当
⃗
b/¿
⃗
c
时,
4m+n=1
C.当
(
2
⃗
a+
⃗
b
)
⊥
⃗
c
时,
m+2n=2
D.
⃗
b
在
⃗
a
上的投影向量的坐标为
(
−1
5,2
5
)
10. 数列
{an}
满足
an+1+2anan+1− an=0
(
n∈N∗
)
, a1=1,
则下列结论正确的是( )
A. 若
bn=3
1
an,
则{bₙ}前n项和为
3
(
9n−1
)
8
C.
1
a1
+1
a2
+⋯+1
a2n−1
=2n+1
an
C. 数列
{
(
−1
)
n
an
}
的前
n
项和为
(−1)n·n
D. 数列
{
(
9
10
)
n
⋅1
an
}
最大项为第 10 项
11.已知
△ABC
的内角
A，B，C
所对的边分别为
a，b，c，
下列四个命题中，正确的命题是( )
A. 在
△ABC
中,
sinA>sinB
的充要条件是
A>B
B. 若D在线段 AB 上,且
AD=5, BD=3, CB=2CD ,cos ∠CDB=−
❑
√
5
5,
则△ABC 的面积为 8
C. 若
(
a²+b²
)
sin
(
A − B
)
=
(
a²−b ²
)
sin
(
A+B
)
,
则
△ABC
是等腰三角形
D. 若
BC=2❑
√
3,
动点 D在
△ABC
所在平面内且
∠BDC=2π
3,
则动点 D的轨迹的长度为
8π
3
三、填空题(每题 5分，共 15 分)
12. 若
z
z−1=1+i ,
则
¿z∨¿
=__________.
13. 已知数列
{an}
的前
n
项和为
Sn
,且
❑
√
Sn+1=3❑
√
Sn, a1=1,
则
aₙ
=__________.
14. 若函数
f(x)
的图象上存在两点
P，Q
关于
y
轴对称，则点对
[P，Q]
称为
f(x)
的“比肩点对”(点
对
[P , Q ]
与
[Q, P]
视为同一个“比肩点对”). 若函数
f
(
x
)
=
{
(
x −1
)
2
(
x2−3xln x− 2
)
x, x>0
a
(
x+1
)
2, x ≤ 0
,
恰有 4个
“比肩点对”，则实数
a
的取值范围是__________.
四、解答题(15 题13 分,16 题15 分, 17 题15 分, 18 题17 分, 19 题17 分)
15. 设
f ' (x)
是函数
f(x)
的导函数,
f ' ' (x)
是函数
f ' (x)
的导函数, 若方程
f''(x)=0
有实数解
x₀
，则称
点
(x₀，f(x₀))
为曲线
y=f(x)
的“拐点”. 经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，
且“拐点”就是三次函数图象的对称中心. 已知函数
f
(
x
)
=mx ³+nx ²−9x −13
的图象的对称中心为
(−1, −2).
(1)求实数
m , n
的值;
(2)求
f(x)
的零点个数.
16. 已知函数
f
(
x
)
=asin xcos x+cos
(
2x+π
6
)
,
且
f
(
π
4
)
=1
2.
(1) 求
a
的值;
(2) 求f(x)的对称中心和单调递减区间；
(3) 若
f
(
θ
2−π
4
)
=3
5,θ ∈
[
−π
2,π
2
)
,
求
cos
(
2θ+π
6
)
的值.
17. 已知数列
{an}
对于任意
n∈N⁺
都有
(
a1+1
)
2+
(
a2+1
)
22+
(
a3+1
)
23+⋯+
(
an+1
)
2n=n .
(1) 求数列
{an}
的通项公式.(2) 设数列
{
2n
an+1
}
前n项和为
Sn
求
Sn
.
(3) 证明:
1
a1
+1
a2
+1
a3
+⋯+1
an+1
<5
3,¿
.
18. 记
△ABC
的内角
A , B , C
的对边分别为
a , b , c ,
已知
sinCsin
(
A − B
)
=sinBsin
(
C − A
)
.
(1) 求
A
取值的范围;(2)若
a=2,
求
△ABC
周长的最大值；
(3)若
b=2, A=2B ,
求
△ABC
的面积
19. 已知函数
f
(
x
)
=x
ex, g
(
x
)
=f
(
x
)
+ax .
(1) 若
g
(
x
)
在
x=0
处取得极值，讨论
g
(
x
)
的单调性；
(2) 设曲线
y=f
(
x
)
在点
P
(
m , f
(
m
)
)
(0<m<2)
处的切线为
l
，证明除点
P
外，曲线段
y=f
(
x
) (
0≤ x ≤ 2
)
总
在
l
的下方；
(3) 设
a>0, xn=1
4❑
√
2n+1,
证明：
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