江苏省扬州市2023届高三上学期期末考试数学试卷 含答案

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江苏省扬州市 2022-2023 学年度上学期期末考试题
高三数学 2023.01
试卷满分：150 分， 考试时间：120 分钟
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每题给出的四个选项中，只有
一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）
1．已知复数 （ 为虚数单位），则 的共轭复数的模是（）
A．1 B．C．D．
2．已知集合 ，则 （）
A．B．C．D．
3．设 ，则“ 成等比数列”是“ ”的
（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了 400
名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在 50
分至 100 分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的
区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组
中值（组中值=(区间上限+区间下限)/2）计算），下列
说法正确的是（）
A．直方图中 x的值为 0.035
B．在被抽取的学生中，成绩在区间 的学生数
为30 人
C．估计全校学生的平均成绩为 83 分
D．估计全校学生成绩的样本数据的 80%分位数约为 95
分
5．已知 ，且 ，则 （）
A． B． C． D．
6.在平面直角坐标系 xOv 中，M为双曲线 右支上的一个动点，若点 M到直线
的距离大于 m恒成立，则实数 m的最大值为（ ）
A.1 B. C.2 D.2
7．如图是一个由三根细棒 、 、 组成的支架，三根细棒 、
、 两两所成的角都为 ，一个半径为 的小球放在支架上， 则
球心 到点 的距离是（）
A． B． C． D．
8．已知函数 及其导函数 的定义域均为 R，且 是偶函数，记
， 也是偶函数，则 的值为（）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选
错的得 0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）
9．如图，在正方体 中， 为 的中点，则
（ÈÈÈÈ）
A． 平面
B． 平面
C．平面 平面
D．直线 与平面 所成角的余弦值为
10．已知函数 的一条对称轴为 ，则（）
A． 的最小正周期为 B．
C． 在 上单调递增 D．
11．已知数列 中， ， ，则关于数列 的说法正确的是
（）
A． B．数列 为递增数列
C． D．数列 的前 n项和小于
12．已知函数 ， ，若 与 图象的公共点个数为 ，且
这些公共点的横坐标从小到大依次为 ， ，…， ，则下列说法正确的有（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.（请将所有填空题答案填到答题卡的
指定位置中.）
13．已知 展开式中的各项系数和为 243，则其展开式中含 项的系数为_____.
14．已知 ,则 与 的夹角为__________．
15．已知 为椭圆 的两个焦点，P为椭圆 C上一点（P不在 y
轴上）， 的重心为 G，内心为 M，且 ，则椭圆 C的离心率为__________
_．
16．对于函数 和 ，设 ， ，若存在 、 ，使得
，则称 与 互为“零点相邻函数”.若函数 与
互为“零点相邻函数”，则实数 的取值范围为______.
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请
将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）
17．已知数列 满足， .
(1)若 ，数列 的通项公式；
(2)若数列 为等比数列，求 .
18．记锐角 的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
(1)求；
(2)求 的取值范围．
19．密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取
密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．
李华参加了一次密室逃脱游戏，他选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为
A，B，C，他们通过三关的概率依次为： ．若其中某一关不通过，则游戏停止，游
戏不通过．只有依次通过 A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现
已知参加一次游戏的报名费为150 元，最终奖励为400 元．为了吸引更多的玩家来挑战该
游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通
过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付 100 元，游戏
结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．
(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率．
(2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去
报名费与购买通关币所需费用）．
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