江苏省扬州市2022-2023学年高三上学期开学考试数学参考答案

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第 1 页 （共 6 页）
2022-2023 学年第二学期期初考试
高三数学参考答案 2023.2
1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．B 7．D 8．A
9．ABD 10．BC 11．BCD 12．ACD
13．28 14．
1
5
15．
3
25
16．
31
[ , ]
52

17．解：（1）
12
nn
Sa

12
nn
Sa

（
2n
），
两式相减得
（
2n
） ·············································································· 2分
12
2, 4aa
21
2aa
··················································································· 3分
 
12
nn
a a n N
 
120a
 
12
n
n
anN
a
 
数列
 
n
a
是以 2为首项，2为公比的等比数列
2n
n
a
； ······································································································ 5分
说明：结果
2n
n
a
对，但漏掉
21
2aa
的扣 1分
（2）由（1）可知
22
log log 2n
nn
b a n 
若选①：
2n
n n n
c b a n  
，
1 2 3
1 2 2 2 3 2 2n
n
Tn 
 
2 3 1
2 1 2 2 2 1 2 2
nn
n
T n n
   
························································ 7分
两式相减得：
2 3 1
2 2 2 2 2
nn
n
Tn
 
=
11
22 2
12
nn
n

，
所以
 
1
1 2 2
n
n
Tn
 
． ··················································································· 10 分
若选②：
  
22
1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 1 2 1
4 1 4 1
n
n
cn n n n
bn

 

 
 
····························· 7分
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 2 3 5 2 5 7 2 2 1 2 1
n
Tnn
   
 
   

   
=
11
1
2 2 1n



=
21
n
n
·········· 10 分
若选③：
 
 
 
22
11
nn
nn
c b n   
当
n
为偶数时，
 
 
2
2 2 2 2 2
1 2 3 4 1
n
T n n

   

=
12 n 
 
1
2
nn
···· 7分
当
n
为奇数时，
11n n n
T T c


2
( 1)( 2) ( 1)
2
nn n

 
 
1
2
nn

. ······························· 10 分
综上得：
   
1
12
n
n
nn
T

. ··················································································· 10 分
第 2 页 （共 6 页）
说明：没有“综上得”不扣分
18．解：（1）在
ABD△
中，由余弦定理得:
2 2 2 2
2 cos 3
a b c bc
 
2100 36 60 196a 
，即
14a
······································································· 3分
设内切圆
I
的半径为
r
，则
 
1 1 2
sin
2 2 3
ABC
S a b c r bc
 
3r
23Sr  
······················································································ 6分
（2）法1：在
ABC△
中，由（1）结合余弦定理得
11
cos 14
ABC
，
BD
平分
ABC
，
点
D
到
,AB BC
的距离相等，故
ABD
CBD
SAB
S BC
，
而
ABD
CBD
SAD
S CD
,
3
7
AB AD
BC CD
 
73
10 10
BD BA BC 
················································ 9分
22
7 3 7 11 3
6 14 14 105
10 10 10 14 10
BD BC BA BC BC    
····································· 12 分
法2：在
ABC△
中，由（1）结合余弦定理得
11
cos 14
ABC
，
依题意可知
I
为内心，故
BD
平分
ABC
，设
ABD CBD    
则
211
cos 2cos 1 14
ABC  
，
57
cos 14
 
，
21
sin 14
 
······································ 8分
思路 1：在
ABD△
中，
3
ADB
 
,由正弦定理得
 
2
sin sin
33
BD AB
 




3 1 21
sin cos sin
3 2 2 7

     


 
 
得
2 6 3
sin 3 7
32
21
sin 37
AB
BD
 




····················································· 10 分
cos 105BD BC BD BC  
············································································ 12 分
思路 2：
ABC ABD CBD
S S S
 

1 1 1
sin2 sin sin
2 2 2
ac c BD a BD    
57
2 6 14
2 cos 14 37
6 14
ac
BD ac
 
 

································································· 10 分
cos 105BD BC BD BC  
············································································ 12 分
思路 3：
BD
平分
ABC
，
点
D
到
,AB BC
的距离相等，故
ABD
CBD
SAB
S BC
而
ABD
CBD
SAD
S CD
,
6
14
AB AD
BC CD
 
10BD
,
3AD
第 3 页 （共 6 页）
在
ABD△
中，由余弦定理得
2 2 2 2
2 cos 3 7
3
BD AD AB AD AB
 
·························· 10 分
cos 105BD BC BD BC  
············································································· 12 分
19．解：（1）连接
1
AO
，在三棱柱
1 1 1
ABC A B C
中，侧面
11
ACC A
是菱形，
160A AC
，
则
1
AAC
为正三角形，取
AC
中点为
O
，则
1
AC AO
，
又
1
AC A B
，
1 1 1
A B AO A
，
11
,A B AO
平面
1
A BO
，
所以
AC
平面
1
A BO
， ························································································ 3分
因为
BO
平面
1
A BO
，所以
AC BO
，
因为
O
是
AC
中点，所以
AB BC
． ······································································· 5分
（2）在边长为 2的正
1
AAC
中，
13AO
，
在
ABC
中，
2AB BC
，
2AC
，则
1BO
，又
12AB
，
所以
2 2 2
11
A O BO A B
，所以
1
AO BO
， ······························································· 7分
所以
1,,OA OB OC
两两垂直.
以
O
为原点，
1
,,OB OC OA
分别为
,,x y z
轴建立空间直角坐标系
O xyz
．
则
1
(0, 1,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0, 3)A B C A
，
1(1,0, 3)AB
，
1 1 1
(0,1, 3), (1,1,0)AC A B AB  
，
设平面
11
A B C
的法向量为
( , , )n x y z
，则
1
1
0
30
A B n x y
AC n y z
 
 
，令
1z
，则
( 3, 3,1)n
····················································· 10 分
设直线
1
AB
与平面
11
A B C
所成角为
，
则
1
11
21
sin | cos , | | | 7
| || |
A B n
A B n A B n
 
，
所以，直线
1
AB
与平面
11
A B C
所成角的正弦值为
21
7
． ··············································· 12 分
20．解：（1）因为
ˆˆ
ˆebx a
y
，所以
ˆ
ˆ ˆ
ln y bx a
， ························································ 1分
所以
55
11
52
22
1
( ln ln 112.85 3 36.33 3.86
ˆ0.386
10
1 4 9 16 25 5
)
3
i i i
ii
i
i
x y x y
b
x nx


 
 

， ······················· 4分
所以
5
1
11
ˆ
ˆln 36.33 0.386 3 6.108
55
i
i
a y bx
 
，
所以
ˆˆ0.386 6.108
ˆee
bx a x
y

. ················································································ 6分
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